Esame di Stato 2003 – 5 – ValCon

La funzione $2x^3 - 3 x^2 + 2$ ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse.
Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.

Osserva

$f(x) = 2x^3 - 3 x^2 + 2$ , continua in R
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
Teorema degli zeri: esiste almeno uno zero in R.
Osserva: tutte le funzioni polinomiali di grado dispari hanno almeno uno zero reale (Teorema fondamentale dell’algebra)
$f'(x) = 6x^2-6x = 6x(x-1)$
- $x_1 = 0$
- $x_2 = 1$
x < 0: $f'(x) > 0$ , f(x) crescente
0 < x < 1: $f'(x) < 0$ , f(x) decrescente
x > 1: $f'(x) > 0$ , f(x) crescente
x=0, $f(0)=2$ , massimo relativo
x=1, $f(1)=1$ , minimo relativo
x > 0: $f(x) > 0$
x < 0: f(x) crescente, un solo zero reale
$f(-1)=-3$
Segni discordi in [-1, 0]
Teorema degli zeri: esiste $x_0\in (-1,\ 0)$ tale che $f(x_0)=0$

La funzione ha un solo zero reale ed è negativo.