Esame di Stato 2005 PNI – 10

Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.

I dati del problema

Abitanti con 60 anni o piùAbitanti con meno di 60 anniPopolazione
Somma delle etàS_xS_yS = S_x+S_y
Numero\displaystyle N_x = \frac{40}{100}\cdot N = \frac{2}{5}\cdot N\displaystyle N_y  = \frac{60}{100}\cdot N = \frac{3}{5}\cdot NN = N_x+N_y
Media delle età\displaystyle 60 \le M_x = \frac{S_x}{N_x}\displaystyle 0 < M_y = \frac{S_y}{N_y} < 60\displaystyle M = \frac{S}{N} = ?

Una soluzione è la seguente

Abitanti con 60 anni o piùAbitanti con meno di 60 anniPopolazione
Età60, 60, 60, 6010, 10, 10, 10, 10, 1060, 60, 60, 60, 10, 10, 10, 10, 10, 10
Somma delle etàS_x = 240S_y = 60S = 300
Numero\displaystyle N_x = 4\displaystyle N_y  = 6N = 10
Media delle etàM_x = 60M_y = 10M = 30

In generale

Abitanti con 60 anni o piùAbitanti con meno di 60 anniPopolazione
Somma delle etàS_xS_yS = S_x+S_y
Numero\displaystyle N_x = \frac{2}{5}\cdot N\displaystyle N_y = \frac{3}{5}\cdot NN = N_x+N_y
Media delle età\displaystyle 60 \le M_x = \frac{S_x}{N_x}\displaystyle 0 < M_y = \frac{S_y}{N_y} < 60\displaystyle M = \frac{S}{N} = 30
Calcoli…S_x = N_x\cdot M_xS_y = N_y\cdot M_y\displaystyle S = 30\cdot N
\displaystyle S_x = \frac{2}{5} \cdot N\cdot M_x\displaystyle S_y = \frac{3}{5} \cdot N\cdot M_y
\displaystyle M_y = 50-\frac{2}{3}\cdot M_x

Combinando i risultati delle 3 colonne

  • \displaystyle M_y = 50-\frac{2}{3}\cdot M_x
    e sapendo che \displaystyle 0 < M_y < 60
  • \displaystyle 0 < 50-\frac{2}{3}\cdot M_x < 60
  • \displaystyle -15 < M_x < 75
    e sapendo che \displaystyle 60 \le M_x
  • 60 \le M_x < 75

Se l’età media del 40% della popolazione è compresa tra i 60 e i 75 anni allora la media della popolazione può essere 30 anni.