Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta.
Si scelga a caso un punto all’interno del cono.
Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

La figura a destra è temporanea…

Volume della sfera

  • r, \overline{HO}, raggio
  • \displaystyle V_s=4/3\cdot \pi \cdot r^3

Volume del cono equilatero

  • R, \overline{BH}, raggio di base
  • h, \overline{CH}, altezza
  • \displaystyle V_c=\pi \cdot R^2 \cdot h/3

Probabilità come rapporto tra volumi

\displaystyle p=\frac{Vc-Vs}{Vc} = 1- \frac{Vs}{Vc} = 1-\frac{4/3\cdot \pi \cdot r^3}{\pi \cdot R^2 \cdot h/3} = 1- \frac{4 \cdot r^3}{R^2\cdot h}

Dall’osservazione della figura…

\overline{BC} : \overline{BH} = \overline{BO} : \overline{HO}

\overline{BH}^2 = \overline{BO}^2 - \overline{HO}^2

Quindi

\displaystyle h= 3\cdot r

\displaystyle R= \sqrt{3}\cdot r

Quindi

\displaystyle p= 1- \frac{4 \cdot r^3}{{(\sqrt{3} \cdot r)} ^2 \cdot (3\cdot r)} = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}