Esame di Stato 2009 – 8

2023-08-032017-02-12 di admin

Si provi che l’equazione $x^{2009}+2009x+1=0$ ha una radice compresa fra -1 e 0.

Sia

$f(x)=x^{2009}+2009x+1$

Esistenza

$f(x)$ è continua in R
$f(-1)=-2009$
$f(0)=+1$
Segni discordi in [-1, 0]
Teorema degli zeri: esiste $x_0\in (-1,\ 0)$ tale che $f(x_0)=0$

Unicità

$f'(x)=2009x^{2008}+2009$
- $x^{2008}+1=0$
- impossibile
$f'(x) > 0$ in R, $f(x)$ crescente, no punti notevoli
Zero unico

Conclusioni: l’equazione ha una e una sola soluzione reale, $x_0\in (-1,\ 0)$ .

Approssimazione?

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