Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P3, …, PN.
Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due?
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)?
Quanti i tetraedri (supposta che nessuna quaterna sia complanare)?
Osserva
- Con una coppia di punti diversi determini un unico segmento.
Quante coppie ordinate con n punti? - Con una terna di punti diversi determini un unico triangolo.
Quante terne ordinate con n punti? - Con una quaterna di punti diversi determini un unico tetraedo.
Quante quaterne ordinate con n punti?
Esercizio
n | Segmenti | Triangoli | Tetraedi |
---|---|---|---|
1 | — | — | — |
0 | 0 | 0 | |
2 | P1P2 | — | — |
= 1 | 0 | 0 | |
3 | P1P2 – P1P3 – P2P3 | P1P2P3 | — |
= 3 | = 1 | 0 | |
4 | P1P2 – P1P3 – P1P4 – P2P3 – P2P4 – P3P4 | P1P2P3 – P1P2P4 – P1P3P4 – P2P3P4 | P1P2P3P4 |
= 6 | = 4 | = 1 | |
5 | P1P2 – P1P3 – P1P4 – P1P5 – P2P3 – P2P4 P2P5 – P3P4 – P3P5 – P4P5 | P1P2P3 – P1P2P4 – P1P2P5 – P1P3P4 P1P3P5 – P1P4P5 – P2P3P4 – P2P3P5 P2P4P5 – P3P4P5 | P1P2P3P4 – P1P2P3P5 P1P2P4P5 – P1P3P4P5 P2P3P4P5 |
= 10 | = 10 | = 5 | |
6 | … | … | … |
= 15 | = 20 | = 15 |