Esame di Stato 2015 PNI – 3

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte?
Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?

INVALSI – ESEMPIO 2 – Domanda 9

Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 volte testa in 6 lanci di una moneta non truccata?

Soluzione 1

Le sequenze di 6 lanci che soddisfano un certo numero di “testa” sono (prova a contarle…)

Numero testa Sequenze Numero Probabilità
0 CCCCCC 1 \displaystyle \frac{1}{64}
1 CCCCCT CCCCTC CCCTCC CCTCCC CTCCCC TCCCCC 6 \displaystyle \frac{6}{64}
2 CCCCTT CCCTCT CCCTTC CCTCCT CCTCTC CCTTCC CTCCCT CTCCTC CTCTCC CTTCCC TCCCCT TCCCTC TCCTCC TCTCCC TTCCCC 15 \displaystyle \frac{15}{64}
3 CCCTTT CCTCTT CCTTCT CCTTTC CTCCTT CTCTCT CTCTTC CTTCCT CTTCTC CTTTCC TCCCTT TCCTCT TCCTTC TCTCCT TCTCTC TCTTCC TTCCCT TTCCTC TTCTCC TTTCCC 20 \displaystyle \frac{20}{64}
4 CCTTTT CTCTTT CTTCTT CTTTCT CTTTTC TCCTTT TCTCTT TCTTCT TCTTTC TTCCTT TTCTCT TTCTTC TTTCCT TTTCTC TTTTCC 15 \displaystyle \frac{15}{64}
5 CTTTTT TCTTTT TTCTTT TTTCTT TTTTCT TTTTTC 6 \displaystyle \frac{6}{64}
6 TTTTTT 1 \displaystyle \frac{1}{64}
64 1

Tutte le sequenze possibili sono 64 (2^6).

Soluzione 2

Utilizza la tecnica degli anagrammi

Numero testa Numero croce
Numero anagrammi Probabilità
0 6 \displaystyle \frac{6!}{0!\ 6!} = 1 \displaystyle \frac{1}{64}
1 5 \displaystyle \frac{6!}{1!\ 5!} = 6 \displaystyle \frac{6}{64}
2 4 \displaystyle \frac{6!}{2!\ 4!} = 15 \displaystyle \frac{15}{64}
3 3 \displaystyle \frac{6!}{3!\ 3!} = 20 \displaystyle \frac{20}{64}
4 2 \displaystyle \frac{6!}{4!\ 2!} = 15 \displaystyle \frac{15}{64}
5 1 \displaystyle \frac{6!}{5!\ 1!} = 6 \displaystyle \frac{6}{64}
6 0 \displaystyle \frac{6!}{6!\ 0!} = 1 \displaystyle \frac{1}{64}
64 1

Soluzione 3

Utilizza la distribuzione binomiale

Numero testa Numero croce
Distribuzione binomiale Probabilità
0 6 \displaystyle {6 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \displaystyle \frac{1}{64}
1 5 \displaystyle {6 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \displaystyle \frac{6}{64}
2 4 \displaystyle {6 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \displaystyle \frac{15}{64}
3 3 \displaystyle {6 \choose 3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \displaystyle \frac{20}{64}
4 2 \displaystyle {6 \choose 4}\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{15}{64}
5 1 \displaystyle {6 \choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \displaystyle \frac{6}{64}
6 0 \displaystyle {6 \choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^0 = \displaystyle \frac{1}{64}
1

Conclusioni

  • p(T < 2) = p(T=0) + p(T=1) = \displaystyle \frac{1}{64}+\frac{6}{64} = \displaystyle \frac{7}{64} = 0,109375 = 10, 9375 %
  • p(T ≤ 2) = p(T=0) + p(T=1) + p(T=2) = \displaystyle \frac{1}{64}+\frac{6}{64}+\frac{15}{64} = \displaystyle \frac{22}{64} = 0,34375 = 34, 375 %
  • p(T ≥ 2) = 1 – p(T < 2) = \displaystyle 1 - \frac{7}{64} = \displaystyle \frac{57}{64} = 0,890625 = 89, 0625 %

oppure

  • p(T ≥ 2) = p(T=2) + p(T=3) + p(T=4) + p(T=5) + p(T=6) = \displaystyle \frac{15}{64}+\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64} = \displaystyle \frac{57}{64} = 0,890625 = 89, 0625 %