Esame di Stato 2016 PNI – 7

Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura.

Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa.

Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?

Soluzione 1

Il numero di percorsi per ogni coppia (partenza, arrivo) è dato dal numero di anagrammi diversi (permutazioni con ripetizioni) componibili con le lettere E (Est) e N (Nord)

Dalla partenza a A

14 lettere, 7 lettere E, 7 lettere N: \frac{14!}{7!7!} = 3.432

Dalla partenza a B

8 lettere, 3 lettere E, 5 lettere N: \frac{8!}{3!5!} = 56

Da B a A

6 lettere, 4 lettere E, 2 lettere N: \frac{6!}{4!2!} = 15

Dalla partenza a A passando per B

8 lettere, 3 lettere E, 5 lettere N
6 lettere, 4 lettere E, 2 lettere N: \frac{8!}{3!5!}\cdot\frac{6!}{4!2!} = 56·15 = 840

La probabilità di passare per B in un percorso dalla partenza a A è

p = \Large \frac { \frac{8!}{3!5!}\cdot\frac{6!}{4!2!} } { \frac{14!}{7!7!} }} = \frac {35}{143} = 0,244755… ~24,5%

Soluzione 2

Con gli stessi ragionamenti ma passando per i coefficienti binomiali

p = \displaystyle \frac{{8 \choose 3} {6 \choose 4}}{{14 \choose 7}} = …

Soluzione 3

Compila le mappe scrivendo in ogni casella il numero di percorsi disponibili per raggiungerla, partendo dalla casella in basso a sinistra

Osserva

Esercizi

Calcola le probabilità per altre caselle diverse da B

1

Da A1 a H8 passando per B8

(E,N,N,N,N,N,N,N) + (E,E,E,E,E,E)

\frac{8!}{1!\cdot 7!}\cdot \frac{6!}{6!} = 8

p(—) = \frac{8}{3432} = 0,00233… ~ 0,233 %

2

Da A1 a H8 passando per C7

(E,E,N,N,N,N,N,N) + (E,E,E,E,E,N)

\frac{8!}{2!\cdot 6!}\cdot \frac{6!}{5!\cdot 1!} = 168

p(—) = \frac{168}{3432} = 0,04895… ~ 4,895 %

3

Da A1 a H8 passando per E5

(E,E,E,E,N,N,N,N) + (E,E,E,N,N,N)

\frac{8!}{4!\cdot 4!}\cdot \frac{6!}{3!\cdot 3!} = 1400

p(—) = \frac{1400}{3432} = 0,4079… ~ 41 %