Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura.
Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa.
Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?
Soluzione 1
Il numero di percorsi per ogni coppia (partenza, arrivo) è dato dal numero di anagrammi diversi (permutazioni con ripetizioni) componibili con le lettere E (Est) e N (Nord)
Dalla partenza a A
14 lettere, 7 lettere E, 7 lettere N: = 3.432
Dalla partenza a B
8 lettere, 3 lettere E, 5 lettere N: = 56
Da B a A
6 lettere, 4 lettere E, 2 lettere N: = 15
Dalla partenza a A passando per B
8 lettere, 3 lettere E, 5 lettere N
6 lettere, 4 lettere E, 2 lettere N: = 56·15 = 840
La probabilità di passare per B in un percorso dalla partenza a A è
p = = = 0,244755… ~24,5%
Soluzione 2
Con gli stessi ragionamenti ma passando per i coefficienti binomiali
p = = …
Soluzione 3
Compila le mappe scrivendo in ogni casella il numero di percorsi disponibili per raggiungerla, partendo dalla casella in basso a sinistra
Osserva
Esercizi
Calcola le probabilità per altre caselle diverse da B
1
Da A1 a H8 passando per B8
(E,N,N,N,N,N,N,N) + (E,E,E,E,E,E)
= 8
p(—) = = 0,00233… ~ 0,233 %
2
Da A1 a H8 passando per C7
(E,E,N,N,N,N,N,N) + (E,E,E,E,E,N)
= 168
p(—) = = 0,04895… ~ 4,895 %
3
Da A1 a H8 passando per E5
(E,E,E,E,N,N,N,N) + (E,E,E,N,N,N)
= 1400
p(—) = = 0,4079… ~ 41 %