Esame di Stato 2019 – 5

di

Si lanciano 4 dadi con facce numerate da 1 a 6

  1. Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?
  2. Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?
  3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

1. Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?

Osserva

  1. 1+1+1+1 = 4
  2. 1+1+1+2 = 5
  3. 1+1+2+1 = 5
  4. 1+2+1+1 = 5
  5. 2+1+1+1 = 5

Ci sono 5 possibili esiti (su 6^4) con somma che non superi 5

p(X <= 5) = \displaystyle \frac{5}{1296} = 0,003858… = 0,3858… %

2. Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?

Considera

  • 3 | x equivalente a 3 divide x equivalente a x è un multiplo di 3
  • 3 -| x equivalente a 3 non divide x equivalente a x non è un multiplo di 3
p(3 | x)= p(x=3 oppure x=6)
= p(x=3) + p(x=6)		= \displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{6}= \displaystyle \frac{1}{3}
p(3 -| x)= 1 – p(3 | x)= \displaystyle 1-\frac{1}{3}= \displaystyle \frac{2}{3}
p(x=x1·x2·x3·x4 e 3 -| x)= p(3 -| x1 e 3 -| x2 e 3 -| x3 e 3 -| x4)
= p(3 -| x1) · p(3 -| x2) · p(3 -| x3) · p(3 -| x4)		= \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^4= \displaystyle \frac{16}{81}
p(x=x1·x2·x3·x4 e 3 | x)= 1 – p(x=x1·x2·x3·x4 e 3 -| x)= \displaystyle 1-\frac{16}{81}= \displaystyle \frac{65}{81}

p(…) = 0,802469… = 80,2469… %

3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

Sia z = 1, 2, 3

Numero di 4EsitiQuanti sono?Cioè…
14 z z z
z 4 z z
z z 4 z
z z z 4		27
27
27
27		\displaystyle {4 \choose 1}\cdot 3\cdot 3\cdot 3= 108
24 4 z z
4 z 4 z
4 z z 4
z 4 4 z
z 4 z 4
z z 4 4		9
9
9
9
9
9		\displaystyle {4 \choose 2}\cdot 3\cdot 3= 54
34 4 4 z
4 4 z 4
4 z 4 4
z 4 4 4		3
3
3
3		\displaystyle {4 \choose 3}\cdot 3= 12
44 4 4 41\displaystyle {4 \choose 4}= 1
  175 

p(…) = \displaystyle \frac{175}{1296} = 0,135… = 13,5… %