Esame di Stato 2019 Simulazione 1 – 8

di

Se si lancia una moneta 2 volte, la probabilità di ottenere una testa e una croce (in qualsiasi ordine) è pari al 50%.
Se la moneta viene lanciata 4 volte, la probabilità di ottenere due teste e due croci, in qualsiasi ordine, è ancora pari al 50%?
Motiva la tua risposta.

Soluzione 1

Conta tutti i possibili esiti

  • Lancio di 2 monete
    • Esiti (4): TT, TC, CT, CC
    • Esiti favorevoli (2): TC, CT
    • Probabilità di ottenere una testa e una croce: \displaystyle \frac{2}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} = 0,50
  • Lancio di 4 monete
    • Esiti (16): TTTT, TTTC, TTCT, TTCC, TCTT, TCTC, TCCT, TCCC, CTTT, CTTC, CTCT, CTCC, CCTT, CCTC, CCCT, CCCC
    • Esiti favorevoli (6): TTCC, TCTC, TCCT, CTTC, CTCT, CCTT
    • Probabilità di ottenere due testa e due croce: \displaystyle \frac{6}{16} = \displaystyle \frac{3}{8} = 0,375

La “probabilità di ottenere due teste e due croci con 4 lanci” è inferiore alla “probabilità di ottenere una testa e una croce con 2 lanci”

Soluzione 2

Utilizza la tecnica degli anagrammi

  • Numero di parole di lunghezza 2 con 2 lettere: \displaystyle 2^2 = 4
  • Numero di anagrammi di lunghezza 2 con 2 lettere diverse: \displaystyle \frac{2!}{1!\cdot 1!} = 2
  • Probabilità di ottenere una testa e una croce: \displaystyle \frac{2}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} = 0,50
  • Numero di parole di lunghezza 4 con 2 lettere: \displaystyle 2^4 = 16
  • Numero di parole di lunghezza 4 con 2 lettere doppie: \displaystyle \frac{4!}{2!\cdot 2!} = 6
  • Probabilità di ottenere due testa e due croce: \displaystyle \frac{6}{16} = \displaystyle \frac{3}{8} = 0,375

Soluzione 3

Utilizza la distribuzione binomiale

  • \displaystyle p_k = {n \choose k}p^k q^{n-k}
  • \displaystyle p = \displaystyle \frac{1}{2}
  • \displaystyle q = \displaystyle \frac{1}{2}
  • \displaystyle p_k = {n \choose k}\frac{1}{2^n}
  • n = 2: \displaystyle p_1 = {2 \choose 1}\frac{1}{2^2} = \displaystyle \frac{2}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} = 0,50
  • n = 4: \displaystyle p_2 = {4 \choose 2}\frac{1}{2^4} = \displaystyle \frac{6}{16} = \displaystyle \frac{3}{8} = 0,375