Esame di Stato 2019 Simulazione 3 – 5

di

Emma fa questo gioco: lancia un dado con facce numerate da 1 a 6; se esce il numero 3 guadagna 3 punti, altrimenti perde 1 punto.
Il punteggio iniziale è 0.

  1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?
  2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?

1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?

  • Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3
    • n=0, punteggio=-4
    • n=1, punteggio=0
    • n=2, punteggio=4
    • n=3, punteggio=8
    • n=4, punteggio=12
    • Il punteggio rimane 0 dopo 4 lanci se il 3 esce 1 volta
  • p(punteggio = 0) = p(n = 1) = …
    • p(dado = 3) = 1/6
    • p(dado = x) = 5/6, x <> 3
    • p(dado = 3xxx) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = x3xx) = \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = xx3x) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = xxx3) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
    • p(n = 1) = \frac{4\cdot 5^3}{6^4} = \frac{5^3}{2^2\cdot 3^4} = \frac{125}{324} ∼ 0.3858 = 38,58 %

2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?

Sia * qualsiasi uscita da 1 a 6

Considera i casi con punteggio positivo o nullo (in verde)

  • p(dado = 33****) = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3×3***) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3xx3**) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3xxx3*) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}

p(punteggio ≥ 0) = \frac{1}{6^2} + \frac{5}{6^3} + \frac{5^2}{6^4} + \frac{5^3}{6^5} ~ 0,08629 ~ 8,63 %

Oppure, considera i casi con punteggio negativo (in rosso)

  • Se al primo lancio esce un numero diverso da 3 il punteggio è già negativo!
    • p(dado = x*****) = \frac{5}{6}
  • Se al primo lancio esce 3 e poi escono 4 numeri diversi da 3 il punteggio diventa negativo al 5° lancio
    • p(dado = 3xxxx*) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
  • In nessun altro caso il punteggio sarà negativo

p(punteggio ≥ 0) = 1 – \frac{5}{6} – \frac{5^4}{6^5} ~ 0,08629 ~ 8,63 %

Esercizi aggiuntivi…

2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?
Con controllo alla fine dei 6 lanci.

  • Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3
    • n=0, punteggio=-6
    • n=1, punteggio= -2
    • n=2, punteggio=2
    • n=3, punteggio=6
    • n=4, punteggio=10
    • n=5, punteggio=14
    • n=6, punteggio=18
    • Il punteggio non scende sotto lo 0 se il 3 esce almeno 2 volte
  • p(punteggio ≥ 0) = p(n ≥ 2) = 1 – p(n < 2) = 1 – p(n = 0) – p(n = 1) = …
    • p(n = 0) = p(dado = xxxxxx) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{5^6}{6^6}
    • p(n = 1) =…
      • p(dado = 3xxxxx) = … = \frac{5^5}{6^6}
      • p(dado = x3xxxx) = …
      • p(dado = xx3xxx) = …
      • p(dado = xxx3xx) = …
      • p(dado = xxxx3x) = …
      • p(dado = xxxxx3) = …
    • p(punteggio ≥ 0) = 1- \frac{5^6}{6^6}-\frac{6\cdot 5^5}{6^6} = 1-\frac{11\cdot5^5}{6^6} = … ∼ 0,2632 = 26,32 %

Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 4 lanci

Numero
di 3		 punti uscite quante
sono		 probabilità probabilità
(distribuzione binomiale)
0 -4 xxxx 5^4 \frac{5^4}{6^4} {4 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^4
1 0 3xxx – x3xx – xx3x – xxx3 4\cdot 5^3 \frac{4\cdot 5^3}{6^4} {4 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^3
2 4 33xx – 3x3x – 3xx3 – x33x – x3x3 – xx33 6\cdot 5^2 \frac{6\cdot 5^2}{6^4} {4 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^2
3 8 333x – 33×3 – 3×33 – x333 4\cdot 5 \frac{4\cdot5}{6^4} {4 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^1
4 12 3333 1 \frac{1}{6^4} {4 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^0

Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 6 lanci

Numero
di 3		 punti uscite quante
sono
 probabilità probabilità
(distribuzione binomiale)
0 -6 xxxxxx 5^6 \frac{5^6}{6^6} {6 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^6
1 -2 3xxxxx – x3xxxx – xx3xxx – xxx3xx – xxxx3x – xxxxx3 6\cdot 5^5 \frac{6\cdot 5^5}{6^6} {6 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^5
2 2 33xxxx – 3x3xxx – 3xx3xx – 3xxx3x – 3xxxx3 – x33xxx
x3x3xx – x3xx3x  – x3xxx3 – xx33xx – xx3x3x – xx3xx3
xxx33x – xxx3x3 – xxxx33		 15\cdot 5^4 \frac{15\cdot 5^4}{6^6} {6 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^4
3 6 333xxx – 33x3xx – 33xx3x – 33xxx3 – 3x33xx – 3x3x3x
3x3xx3 – 3xx33x – 3xx3x3 – 3xxx33 – x333xx – x33x3x
x33xx3 – x3x33x – x3x3x3 – x3xx33 – xx333x – xx33x3
xx3x33 – xxx333		 20\cdot 5^3 \frac{20\cdot 5^3}{6^6} {6 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^3
4 10 3333xx – 333x3x – 333xx3 – 33x33x – 33x3x3 – 33xx33
3x333x – 3x33x3 – 3x3x33 – 3xx333 – x3333x – x333x3
x33x33 – x3x333 – xx3333		 15\cdot 5^2 \frac{15\cdot 5^2}{6^6} {6 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^2
5 14 33333x – 3333×3 – 333×33 – 33×333 – 3×3333 – x33333 6\cdot 5 \frac{6\cdot 5}{6^6} {6 \choose 5}\left(\frac{1}{6}\right)^5\left(\frac{5}{6}\right)^1
6 18 333333 1 \frac{1}{6^6} {6 \choose 6}\left(\frac{1}{6}\right)^6\left(\frac{5}{6}\right)^0

Calcola la probabilità delle uscite significative con 6 lanci

Uscite quante
sono
 probabilità
33**** 6^4 \frac{6^4}{6^6} \frac{1}{6^2}
3×3*** 5\cdot6^3 \frac{5\cdot 6^3}{6^6} \frac{5}{6^3}
3xx3** 5^2\cdot6^2 \frac{5^2\cdot 6^2}{6^6} \frac{5^2}{6^4}
3xxx3* 5^3\cdot6 \frac{5^3\cdot 6}{6^6} \frac{5^3}{6^5}
3xxxx* 5^4\cdot6 \frac{5^4\cdot 6}{6^6} \frac{5^4}{6^5}
x***** 5\cdot6^5 \frac{5\cdot6^5}{6^6} \frac{5}{6}