Integrazione numerica – Rettangoli

L’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione a sinistra

  • h = \displaystyle \frac{b-a}{n}
  • x = a, a+h, a+2h, a+3h, …, a+(n-1)h
  • y = f(a), f(a+h), f(a+2h), f(a+3h), …, f(a+(n-1)h)

n=1

\displaystyle h=b-a

\displaystyle h\cdot f(a)

\displaystyle (b-a)\cdot f(a)

n=2

\displaystyle h=\frac{b-a}{2}

\displaystyle h\cdot f(a) + h\cdot f(a+h)

\displaystyle h\,\big[ f(a) +  f(a+h)\big]

\displaystyle (b-a)\,\frac{f(a) + f(a+h)}{2}

n=3

\displaystyle h=\frac{b-a}{3}

\displaystyle h\cdot f(a) + h\cdot f(a+h) + h\cdot f(a+2\cdot h)

\displaystyle h\,\big[ f(a) + f(a+h) + f(a+2\cdot h)\big]

\displaystyle (b-a)\,\frac{f(a) + f(a+h) + f(a+2\cdot h)}{3}

n

\displaystyle h=\frac{b-a}{n}

\displaystyle h\cdot f(a) + h\cdot f(a+h) + \dots h\cdot f(a+(n-1)h)

\displaystyle h\,\big[ f(a) + f(a+h) + \dots f(a+(n-1)h)\big]

Il calcolo dell’area di un unico rettangolo con base h e altezza data dalla somma delle n altezze

\displaystyle (b-a)\,\frac{f(a) + f(a+h) + \dots f(a+(n-1)h)}{n}

Il calcolo dell’area di un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media aritmetica delle n altezze

Punto centrale

Se l’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione nel punto centrale

  • h = \displaystyle \frac{b-a}{n}
  • x = a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2, a+3h+h/2, …, a+(n-1)h+h/2
  • y = f(a+h/2), f(a+h+h/2), f(a+2h+h/2), f(a+3h+h/2), …, f(a+(n-1)h+h/2)

h\cdot f(a+\frac{h}{2})

h\, \big[f(a+\frac{h}{2}) + f(a+h+\frac{h}{2})\big]

h\, \big[f(a+\frac{h}{2}) + f(a+h+\frac{h}{2})+ f(a+2 \cdot h+\frac{h}{2})\big]

h\, \big[f(a+\frac{h}{2})+f(a+h+\frac{h}{2})+\dots+f(a+(n-1)h+\frac{h}{2})\big]

Altezze di destra

Se l’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione a destra

  • h = \displaystyle \frac{b-a}{n}
  • x = a+h, a+2h, a+3h, …, a+(n-1)h, b
  • y = f(a+h), f(a+2h), f(a+3h), …, f(a+(n-1)h), f(b)

\displaystyle h\cdot f(b)

\displaystyle h\, \big[f(a+h) + f(b)\big]

\displaystyle h\, \big[f(a+h) + f(a+2\cdot h)+  f(b)\big]

\displaystyle h\, \big[f(a+h) + f(a+2\cdot h)+\dots + f(a+(n-1) h)+  f(b)\big]

Osserva le formulazioni alternative con le sommatorie

\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f(a+i \cdot h)
\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f(a+i \cdot h)
\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*) \displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \cdot h + \frac{h}{2}\right)
\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*) \displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \cdot h + \frac{h}{2}\right)
\displaystyle h\, \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \displaystyle h\, \sum_{i=1}^{n} f(a+i \cdot h)
\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=1}^n f(x_i) \displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=1}^{n} f(a+i\cdot h)