INVALSI – V – Esempio 1 – 7

I test clinici sono soggetti a errore; a volte non rilevano una malattia in persone malate e a volte la rilevano in persone sane.
Una malattia colpisce il 2% delle persone di una popolazione.
Un test clinico risulta positivo, cioè rileva la malattia, nel 90% delle persone malate e nell’1% delle persone sane.

La situazione è descritta dal diagramma ad albero seguente.

Un individuo della popolazione si è sottoposto al test che è risultato positivo.
Qual è la probabilità che l’individuo sia malato?



Un po’ di calcoli

  1. p(“malato”) = 2% = \displaystyle \frac{200}{10000}
  2. p(“malato” e “test positivo”) = 2% * 90% = \frac{180}{10000}
  3. p(“malato” e “test negativo”) = 2% * 10% = \frac{20}{10000}
  4. p(“sano”) = 98% = \displaystyle \frac{9800}{10000}
  5. p(“sano” e “test negativo”) = 98% * 99% = \frac{9702}{10000}
  6. p(“sano” e “test positivo”) = 98% * 1% = \frac{98}{10000}

Osserva

  1. Circa 200 persone su 10.000 sono malate
  2. Circa 180 persone risultano positive al test e sono effettivamente malate
  3. Circo 20 persone risultano negative al test ma sono malate
  4. Circa 9800 persone sono sane
  5. Circa 9702 persone risultano negative al test e sono effettivamente sane
  6. Circa 98 persone risultano positive al test ma sono sane

Ancora calcoli

  1. p(“test positivo”)
    1. = p(“malato” e “test positivo”) + p(“sano” e “test positivo”)
    2. = \frac{180}{10000} + \frac{98}{10000}
    3. = \frac{278}{10000}
  2. p(“malato” | “test positivo”)
    • = p(“malato” e “test positivo”) / p(“test positivo”)
    • = \frac{180}{10000} · \frac{10000}{278}
    • = \frac{180}{278}
    • ~ 0,6775 (67,75%)
  3. p(“test negativo”)
    • = p(“malato” e “test negativo”) + p(“sano” e “test negativo”)
    • = \displaystyle \frac{20}{10000}+\frac{9702}{10000}
    • = \displaystyle \frac{9722}{10000}
  4. p(“malato” | “test negativo”)
    • = p(“malato” e “test negativo”) / p(“test negativo”)
    • = \displaystyle \frac{20}{10000}\cdot\frac{10000}{9722}
    • ~ 0,0021 (0,21 %)

Osserva

  1. Circa 278 persone sono risultate positive al test
  2. Solo 2 persone su 3, tra quelle risultate positive, sono effettivamente malate!
  3. Circa 9722 persone sono risultate negative al test
  4. Circa 2 persone su 1000 tra quelle risultate negative in realtà sono malate!