INVALSI – V – Esempio 2 – 3-4-5

di

In uno studio clinico è stato messo a punto e somministrato a un campione estratto da una popolazione un test per diagnosticare una malattia.
I risultati del test sul campione sono riportati in tabella.

+---------------+--------+------+--------+
|               | Malati | Sani | TOTALE |
+---------------+--------+------+--------+
| Test positivo |     95 |  105 |    200 |
| Test negativo |      5 |  795 |    800 |
+---------------+--------+------+--------+
|        TOTALE |    100 |  900 |   1000 |
+---------------+--------+------+--------+

  1. Qual è la percentuale di persone malate del campione?
  2. Qual è la probabilità che una persona malata sia risultata negativa al test?
  3. Si definisce falso positivo una persona sana che risulta positiva al test.
    Qual è la probabilità che una persona che ha partecipato al test sia un falso positivo?

Soluzione 1

Individua le categorie nella tabella…

1. Qual è la percentuale di persone malate del campione?

+---------------+--------+------+--------+
|               | Malati | Sani | TOTALE |
+---------------+--------+------+--------+
| Test positivo |     95 |  105 |    200 |
| Test negativo |      5 |  795 |    800 |
+---------------+--------+------+--------+
|        TOTALE |    100 |  900 |   1000 |
+---------------+--------+------+--------+

\displaystyle \frac{100}{1000} = 10%

2. Qual è la probabilità che una persona malata sia risultata negativa al test?

+---------------+--------+------+--------+
|               | Malati | Sani | TOTALE |
+---------------+--------+------+--------+
| Test positivo |     95 |  105 |    200 |
| Test negativo |      5 |  795 |    800 |
+---------------+--------+------+--------+
|        TOTALE |    100 |  900 |   1000 |
+---------------+--------+------+--------+

\displaystyle \frac{5}{100} = 5%

3. Si definisce falso positivo una persona sana che risulta positiva al test.
Qual è la probabilità che una persona che ha partecipato al test sia un falso positivo?

+---------------+--------+------+--------+
|               | Malati | Sani | TOTALE |
+---------------+--------+------+--------+
| Test positivo |     95 |  105 |    200 |
| Test negativo |      5 |  795 |    800 |
+---------------+--------+------+--------+
|        TOTALE |    100 |  900 |   1000 |
+---------------+--------+------+--------+

\displaystyle \frac{105}{1000} = 10,5%

Esercizio 1

In modo più formale

p(M)= \displaystyle \frac{100}{1000}= \displaystyle \frac{1}{10}= 0,10
p(S)= \displaystyle \frac{900}{1000}= \displaystyle \frac{9}{10}= 0,90
p(P | M)= \displaystyle \frac{95}{100}= \displaystyle \frac{19}{20}= 0,95
p(N | M)= \displaystyle \frac{5}{100}= \displaystyle \frac{1}{20}= 0,05
p(P | S)= \displaystyle \frac{105}{900}= \displaystyle \frac{21}{200}= 0,11666…
p(N | S)= \displaystyle \frac{795}{900}= \displaystyle \frac{795}{900}= 0,88333…
p(M e P)= p(M) · p(P | M) = \displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{95}{100}= \displaystyle \frac{19}{200}= 0,095
p(M e N)= p(M) · p(N | M)= \displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{5}{100}= \displaystyle \frac{1}{200}= 0,05
p(S e P)= p(S) · p(P | S)= \displaystyle \frac{900}{1000} \cdot \frac{105}{900}= \displaystyle \frac{21}{200}= 0,105
p(S e N)= p(S) · p(N | S)= \displaystyle \frac{900}{1000} \cdot \frac{795}{900}= \displaystyle \frac{159}{200}= 0,795
p(P)= p(M e P) + p(S e P)= \displaystyle \frac{95}{1000} + \displaystyle \frac{105}{1000}= \displaystyle \frac{1}{5}= 0,20
p(N)= p(M e N) + p(S e N)= \displaystyle \frac{5}{1000} + \displaystyle \frac{795}{1000}= \displaystyle \frac{4}{5}= 0,80
p(M | P)= \displaystyle \frac{p(M e P)}{p(P)}= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{95}{1000}}{\displaystyle \frac{200}{1000}}= \displaystyle \frac{19}{40}= 0,475
p(S | P)= \displaystyle \frac{p(S e P)}{p(P)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{105}{1000}}{\displaystyle \frac{200}{1000}}= \displaystyle \frac{21}{40}= 0,525
p(M | N)= \displaystyle \frac{p(M e N)}{p(N)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5}{1000}}{\displaystyle \frac{800}{1000}}= \displaystyle \frac{1}{160}= 0,00625
p(S | N)= \displaystyle \frac{p(S e N)}{p(N)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{795}{1000}}{\displaystyle \frac{800}{1000}}= \displaystyle \frac{159}{160}= 0,99375

Osserva

  • 5 persone su 1.000 sono malate ma risultano negative
  • 105 persone su 1.000 sono sane ma risultano positive
  • Ogni 40 positivi solo 19 sono effettivamente malati
  • Ogni 160 negativi c’è un malato

Esercizio 2

Formule e calcoli ancora più espliciti…

p(P)= p(P e (M o S))
= p((M e P) o (S e P))
= p(M e P) + p(S e P)
= p(M) · p(P | M) + p(S) · p(P | S)		= \displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{95}{100} + \displaystyle \frac{900}{1000} \cdot \frac{105}{900}= \displaystyle \frac{200}{1000}= \displaystyle \frac{1}{5}
p(N)= p(N e (M o S))
= p((M e N) o (S e N))
= p(M e N) + p(S e N)
= p(M) · p(N | M) + p(S) · p(N | S) 		= \displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{5}{100} + \displaystyle \frac{900}{1000} \cdot \frac{795}{900}= \displaystyle \frac{800}{1000}= \displaystyle \frac{4}{5}
p(M | P)= \displaystyle \frac{p(M e P)}{p(P)}
= \displaystyle \frac{p(M) \cdot p(P | M)}{p(M)\cdot p(P | M) + p(S)\cdot p(P | S)} 		= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{95}{100}}{\displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{95}{100} + \frac{900}{1000} \cdot \frac{105}{900} }= \displaystyle \frac{95}{200}= \displaystyle \frac{19}{40}
p(S | P)= \displaystyle \frac{p(S e P)}{p(P)}
= \displaystyle \frac{p(S) \cdot p(P | S)}{p(M)\cdot p(P | M) + p(S)\cdot p(P | S)} 		= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{900}{1000} \cdot \frac{105}{900}}{\displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{95}{100} + \frac{900}{1000} \cdot \frac{105}{900} }= \displaystyle \frac{105}{200}= \displaystyle \frac{21}{40}
p(M | N)= \displaystyle \frac{p(M e N)}{p(N)}
= \displaystyle \frac{p(M) \cdot p(N | M)}{p(M)\cdot p(N | M) + p(S)\cdot p(N | S)} 		= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{5}{100}}{\displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{5}{100} + \frac{900}{1000} \cdot \frac{795}{900} } = \displaystyle \frac{5}{800}= \displaystyle \frac{1}{160}
p(S | N)= \displaystyle \frac{p(S e N)}{p(N)}
= \displaystyle \frac{p(S) \cdot p(N | S)}{p(M)\cdot p(N | M)+p(S)\cdot p(N | S)} 		= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{900}{1000} \cdot \frac{795}{900}}{\displaystyle \frac{100}{1000} \cdot \frac{5}{100} + \frac{900}{1000} \cdot \frac{795}{900} }= \displaystyle \frac{795}{800}= \displaystyle \frac{159}{160}