Olimpiadi di Matematica – Gara a Squadre 2000 – Numero 6
La Società dei Quattro Primi è un’associazione di matematici la cui fondazione risale all’anno 201.
I membri di questa associazione organizzano un convegno in tutti gli anni nella cui fattorizzazione campaino esattamente quattro primi distinti (ad esempio 210 = 2 · 3 · 5 · 7, oppure 990 = 2 · 3² · 5 · 11).
Trovare la somma degli anni in cui si sono svolti gli ultimi due convegni.
Passo 1
- Il quesito è dell’edizione dell’anno 2000
- “Si sono svolti”: la ricerca sarà sugli anni precedenti al 2000.
Passo 2
Fattorizza i numeri naturali 1999, 1998, … finché non trovi due anni con 4 fattori primi distinti
- 1999 = 1999
- 1998 = 2 · 33 · 37
- 1997 = 1997
- 1996 = 22 · 499
- 1995 = 3 · 5 · 7 · 19
- 1994 = 2 · 997
- 1993 = 1993
- 1992 = 23 · 3 · 83
- 1991 = 11 · 181
- 1990 = 2 · 5 · 199
- 1989 = 32 · 13 · 17
- 1988 = 22 · 7 · 71
- 1987 = 1987
- 1986 = 2 · 3 · 331
- 1985 = 5 · 397
- 1984 = 26 · 31
- 1983 = 3 · 661
- 1982 = 2 · 991
- 1981 = 7 · 283
- 1980 = 22 · 32 · 5 · 11
Passo 3
La risposta al quesito è 1995 + 1980 = 3975
Osservazione
Non è necessario fattorizzare effettivamente TUTTI i numeri candidati: se non ci sono abbastanza fattori piccoli non possono esserci troppi fattori grandi!
- 2 · 3 · 5 · 7 = 210
- 3 · 5 · 7 · 11 = 1.155 (escluso il fattore 2)
- 5 · 7 · 11 · 13 = 5.005 (esclusi i fattori 2 e 3)
Se l’anno non è divisibile almeno per 2 o per 3 allora non può avere 4 divisori primi distinti.
| Anno | Fattorizzazione | Tentativi? |
|---|---|---|
| 1999 | — | 2, 3 |
| 1998 | = 2 · 999 = 2 · 3 · 333 = 2 · 32 · 111 = 2 · 33 · 37 | 5 |
| 1997 | — | 2, 3 |
| 1996 | = 2 · 998 = 22 · 499 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 |
| 1995 | = 3 · 665 = 3 · 5 · 133 = 3 · 5 · 7 · 19 | |
| 1994 | = 2 · 997 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 |
| 1993 | — | 2, 3 |
| 1992 | = 2 · 996 = 22 · 498 = 23 · 249 = 23 · 3 · 83 | 5, 7 |
| 1991 | — | 2, 3 |
| 1990 | = 2 · 995 = 2 · 5 · 199 | 7, 11, 13 |
| 1989 | = 3 · 663 = 32 · 221 = 32 · 13 · 17 | |
| 1988 | = 2 · 994 = 22 · 497 = 22 · 7 · 71 | |
| 1987 | — | 2, 3 |
| 1986 | = 2 · 993 = 2 · 3 · 331 | 5, 7, 11, 13, 17 |
| 1985 | — | 2, 3 |
| 1984 | = 2 · 992 = 22 · 496 = 23 · 248 = 24 · 124 = 25 · 62 = 26 · 31 | 3, 5 |
| 1983 | = 3 · 661 | 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … |
| 1982 | = 2 · 991 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 |
| 1981 | — | 2, 3 |
| 1980 | = 2 · 990 = 22 · 495 = 22 · 3 · 165 = 22 · 32 · 55 = 22 · 32 · 5 · 11 |