Olimpiadi Italiane di Statistica 2020 III/IV – 18

Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 1000 lampade con il 10% di esse difettose, B ne contiene 1500 con il 15% difettose e C ne contiene 500 con il 5% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.

Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

Osserva la figura

p(“Difettosa”) = p(A e “Dif.” oppure B e “Dif.” oppure C e “Dif.”)

= p(A) · p(“Dif.” | A) + p(B) · p(“Dif.” | B) + p(C) · p(“Dif.” | C)

= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{10}{100} + \frac{1}{3}\cdot \frac{15}{100}+\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{100}

= \displaystyle \frac{10}{300} + \frac{15}{300}+\frac{5}{300} = \displaystyle \frac{30}{300} = \displaystyle \frac{10}{100}

= 0,1 = 10%

Esercizio 1

Controlla se …

p(“Funzionante”) = …

= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{90}{100} + \frac{1}{3}\cdot \frac{85}{100}+\frac{1}{3}\cdot \frac{95}{100}

= \displaystyle \frac{90}{300} + \frac{85}{300}+\frac{95}{300} = \displaystyle \frac{270}{300} = \displaystyle \frac{90}{100}

= 0,9 = 90%

Esercizio 2

Se le lampadine fossero tutte mescolate in un’unica scatola?

Num(“lampadine”) = Num(A) + Num(B) + Num(B)

= 1000 + 1500 + 500 = 3000

Num(“difettose”) = 10% · Num(A) + 15% · Num(B) + 5% · Num(B)

= \displaystyle \frac{10}{100}\cdot 1000 + \frac{15}{100}\cdot 1500 + \frac{5}{100}\cdot 500

= 100 + 225 + 25 = 350

p(“Difettosa”) = \displaystyle \frac{\text{Num("difettose")}}{\text{Num("lampadine")}}

= \displaystyle \frac{350}{3000} = \frac{7}{60}

= 0,1166… = 11,66… %