Olimpiadi Italiane di Statistica 2020 III/IV – 7

Si consideri la variabile “spesa mensile” osservata su tre famiglie nel corso del 2018.
La famiglia A spende in media 1000 euro al mese, con una varianza di 200 euro².
La famiglia B spende ogni mese 8/10 della spesa della prima.
La famiglia C spende ogni mese esattamente 200 euro al mese in meno della prima.

Come saranno le medie e le varianze delle spese mensili delle famiglie B e C?

  1. Le medie della famiglia B e C coincidono: 800 euro.
    La varianza delle spese mensili per la famiglia B è 128 euro² e per la famiglia C è 0
  2. Le medie della famiglia B e C coincidono: 800 euro.
    La varianza delle spese mensili per la famiglia B è 128 euro² e per la famiglia C non varia rispetto alla famiglia A
  3. Per la famiglia B, la media è 800 euro e la varianza 128 euro².
    La media e la varianza della famiglia C sono identiche rispetto a quelle della famiglia A
  4. Con i dati a disposizione non posso calcolare la media e varianza per le famiglie B e C
  5. Non so

Fai tutti i passi, senza utilizzare direttamente le proprietà della media e della varianza

Calcoli per la media

\displaystyle m_A=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} a_i = 1000

\displaystyle m_B=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} b_i = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} \frac{8}{10}a_i = \displaystyle \frac{8}{10}\cdot \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} a_i = \displaystyle \frac{8}{10}\cdot m_A = \displaystyle \frac{8}{10}\cdot 1000 = 800

\displaystyle m_C=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}c_i = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}(a_i-200) = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}a_i - \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}200 = \displaystyle m_A - 200 = \displaystyle 1000 - 200 = 800

Calcoli per la varianza

\displaystyle var_A=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} (a_i-m_A)^2 = 200

\displaystyle var_B=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} (b_i-m_B)^2 = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} \left(\frac{8}{10}a_i-800\right)^2 = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} \left(\frac{8}{10}(a_i-1000)\right)^2 = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12}\frac{64}{100} (a_i-m_A)^2 = \displaystyle \frac{64}{100}\cdot \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} (a_i-m_A)^2 = \displaystyle \frac{64}{100}\cdot var_A = \displaystyle \frac{64}{100}\cdot 200 = 128

\displaystyle var_C=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} (c_i-m_C)^2 = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} \left(a_i-200-800\right)^2 = \displaystyle \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} \left(a_i-m_A\right)^2 = \displaystyle var_A = 200