Approssimazioni – 2

Serie

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme

\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots Leibniz
Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
\displaystyle \frac{\ \pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots Eulero
Reciproci dei quadrati
\displaystyle \frac{\ \pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots Reciproci delle quarte potenze
\displaystyle \pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots Il numero 2 ha segno positivo
I
numeri primi della forma (4m-1) hanno segno positivo
I numeri primi della forma (4m+1) hanno segno negativo
P
er i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
\displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n Bailey, Borwein, Plouffe
Ramanujan

Produttorie

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infiniti prodotti

\displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot 6}{5\cdot 7} \ \dots Wallis
Al numeratore tutti i quadrati dei numeri pari, al denominatore i prodotti …
\displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdot\frac{17}{16}\cdot\frac{19}{20}\cdot\frac{23}{24}\ \dots Eulero
Al numeratore tutti i numeri primi dispari, a
l denominatore il multiplo di 4 più vicino al numeratore
\displaystyle \frac{\ \pi ^2}{6} = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\cdot \frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\cdot \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\dots Eulero
Il prodotto percorre tutti i numeri primi
\displaystyle \pi = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\dots Viète

Frazioni continue

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite divisioni (frazioni)

\displaystyle \pi = \frac{4}{\displaystyle 1+\frac{1^2}{\displaystyle 2+\frac{3^2}{\displaystyle 2+\frac{5^2}{\displaystyle 2+\frac{7^2}{\displaystyle 2+...}}}}}}

\displaystyle \pi =3+ \frac{1^2}{\displaystyle 6+\frac{3^2}{\displaystyle 6+\frac{5^2}{\displaystyle 6+\frac{7^2}{\displaystyle 6+\frac{9^2}{\displaystyle 6+...}}}}}}

\displaystyle \pi = \frac{4}{\displaystyle 1+\frac{1^2}{\displaystyle 3+\frac{2^2}{\displaystyle 5+\frac{3^2}{\displaystyle 7+\frac{4^2}{\displaystyle 9+...}}}}}}