Pi greco – Approssimazioni

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$
(Leibniz) Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
$\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots$
(Eulero) Reciproci dei quadrati
$\displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots$
Reciproci delle quarte potenze
$\pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots$
Il numero 2 ha segno positivo
I numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
I numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
Per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
$\displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n$
(Bailey, Borwein, Plouffe) …
… (Ramanujan)

$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot 6}{4\cdot 7} \ \dots$
(Wallis) Al numeratore tutti i quadrati dei numeri pari, al denominatore il numero al denominatore meno 1
$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdot\frac{17}{16}\cdot\frac{19}{20}\cdot\frac{23}{24}\ \dots$
(Eulero) Al numeratore tutti i numeri primi dispari, al denominatore il multiplo di 4 più vicino al numeratore
$\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots$ (Eulero)
Il prodotto percorre tutti i numeri primi
$\pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots$ (Viète)

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