Metodo di Archimede

A ogni passo si costruiscono i due poligoni simili, inscritto e circoscritto, e calcolando i perimetri corrispondenti si ottengono due nuove approssimazioni di π, per difetto e per eccesso

p_{6} < 2\cdot \pi \cdot r < P_{6}

p_{6} < p_{12} <  2\cdot \pi \cdot r  < P_{12} < P_{6}

p_{6} < p_{12} < p_{24} < \dots < 2\cdot \pi \cdot r < \dots < P_{24} < P_{12} < P_{6}

\displaystyle \frac{p_{6}}{2\cdot r} < \frac{p_{12}}{2\cdot r} < \frac{p_{24}}{2\cdot r} < \dots < \frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot r} < \dots < \frac{P_{24}}{2\cdot r} < \frac{P_{12}}{2\cdot r} < \frac{P_{6}}{2\cdot r}

\pi_{6} < \pi_{12} < \pi_{24} < \dots < \pi  < \dots < \Pi_{24} < \Pi_{12} < \Pi_{6}

Primo passo

Un esagono inscritto e un esagono circoscritto, Δ è la differenze tra i 2 apotemi necessaria per il passo successivo.

Esagono inscritto Esagono circoscritto
Lato \displaystyle l_6 = r \displaystyle L_6 = \frac{A_6}{a_6}\cdot l_6
Perimetro \displaystyle p_6 = 6\cdot l_6 \displaystyle P_6 = 6\cdot L_6
Pi greco \displaystyle \pi_6 = \frac{p_6}{2\cdot r} \displaystyle \Pi_6 = \frac{P_6}{2\cdot r}
Apotema \displaystyle a_6 = \sqrt{r^2-\left(\frac{l_6}{2}\right)^2} \displaystyle A_6 = r
Delta \displaystyle\Delta_6 = r-a_6

Passi successivi

Un poligono inscritto e un poligono circoscritto con numero di lati doppio rispetto al passo precedente

Poligono inscritto Poligono circoscritto
Lato \displaystyle l_n = \sqrt{\left(\frac{l_{n/2}}{2}\right)^2+\Delta_{n/2}^2} \displaystyle L_n = \frac{A_n}{a_n}\cdot l_n
Perimetro \displaystyle p_n = n\cdot l_n \displaystyle P_n = n\cdot L_n
Pi greco \displaystyle \pi_n = \frac{p_n}{2\cdot r} \displaystyle \Pi_n = \frac{P_n}{2\cdot r}
Apotema \displaystyle a_n = \sqrt{r^2-\left(\frac{l_n}{2}\right)^2} \displaystyle A_n = r
Delta \displaystyle \Delta_n = r-a_n

Approssimazioni formali

Passo Numero lati \pi \Pi
1 6 3 \displaystyle 2 \sqrt{3}
2 12 \displaystyle 6 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \displaystyle 12\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}}
3 24 \displaystyle 12 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \displaystyle 24\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}
4 48 \displaystyle 24 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \displaystyle 48\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}
5 96 \displaystyle 48 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}} \displaystyle 96\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}
6 192

Approssimazioni numeriche

Passo Numero lati \pi \Pi
1 6 3.0000000000 3.4641016151
2 12 3.1058285412 3.2153903092
3 24 3.1326286133 3.1596599421
4 48 3.1393502030 3.1460862151
5 96 3.1410319509 3.142714996
6 192 3.1414524723 3.1418730500
7 384 3.1415576079 3.1416627471
8 768 3,1415838921 3,1416101766
9 1536 3,1415904632 3,1415970343
10 3072 3,1415921060 3,1415937488
11 6144 3,1415925167 3,1415929274
12 12288 3,1415926194 3,1415927220
13 24576 3,1415926450 3,1415926707
14 49152 3.1415926515 3.1415926579
15 98304 3.1415926531 3.1415926547