Metodo di Esaustione (Quadrato)

Osserva

  • Il primo poligono è un quadrato
  • Il valore di \Delta è necessario per il passo successivo
  • Il poligono successivo ha il doppio dei lati del precedente
Numero lati 4 8 16
l, lato \displaystyle \sqrt{2}\cdot r \displaystyle \sqrt{\left(\frac{l_4}{2}\right)^2+\Delta_4^2} \displaystyle \sqrt{\left(\frac{l_8}{2}\right)^2+\Delta_8^2}
p, perimetro \displaystyle 4\cdot l_4 \displaystyle 8\cdot l_8 \displaystyle 16\cdot l_{16}
\pi, pi greco \displaystyle \frac{p_4}{2 \cdot r} \displaystyle \frac{p_8}{2 \cdot r} \displaystyle \frac{p_{16}}{2 \cdot r}
a, apotema \displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_4}{2}\right)^2} \displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_8}{2}\right)^2}  \displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_{16}}{2}\right)^2}
\Delta, delta \displaystyle r-a_4 \displaystyle r-a_8 \displaystyle r-a_{16}

Sostituendo il valore \displaystyle l_4= \sqrt{2}\cdot r

Numero lati 4 8 16
Lato \displaystyle \sqrt{2}\cdot r \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot r \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot r
Perimetro \displaystyle 4\cdot \sqrt{2}\cdot r \displaystyle 8 \cdot  \sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot r \displaystyle 16 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot r
Pi greco \displaystyle 2\cdot \sqrt{2} \displaystyle 4 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} \displaystyle 8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}
Apotema \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot r \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot r \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot r
Delta \displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\right)\cdot r \displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}}\right) \cdot r \displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right) \cdot r

L’approssimazione di \pi non dipende da r, per r=1

Numero lati 4 8 16 32
Lato \displaystyle \sqrt{2} \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2}} \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
Perimetro \displaystyle 4\cdot \sqrt{2} \displaystyle 8 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} \displaystyle 16 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \displaystyle 32 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
Pi greco \displaystyle 2 \cdot \sqrt{2} \displaystyle 4 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} \displaystyle 8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \displaystyle 16\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
Apotema \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
Delta \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2} \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2}} \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}

Approssimazioni

Osserva le approssimazioni successive di pi greco e nella colonna a fianco una forma equivalente (produttoria di Viète)

Passo Numero lati \pi
1 4 \displaystyle 2 \cdot \sqrt{2} \displaystyle 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} 2,82842712474619
2 8 \displaystyle 4 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} \displaystyle 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} 3,06146745892072
3 16 \displaystyle 8 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \displaystyle 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} 3,12144515225805
4 32 \displaystyle 16\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} 3,13654849054594
5 64 \displaystyle 32\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} 3,14033115695475
6 128 \displaystyle 64\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}} 3,14127725093277
7 256 3,1415138011443
8 512 3,14157294036709
9 1024 3,14158772527716
10 2048 3,1415914215112

Approfondimenti