Metodo di Esaustione

Da Wikipedia

Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane.
Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data.
L’area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

Il sofista Antifonte (430 a.C.) tentò di determinare l’area del cerchio inscrivendovi dei triangoli sempre più piccoli, fino a quando la sua area non “esaurisce”.

Un più famoso esempio di applicazione del metodo di esaustione è quello della quadratura del cerchio effettuata da Archimede.

Il primo poligono è un esagono inscritto.
Il poligono successivo ha il doppio dei lati del precedente.
Si ottiene un’approssimazione sempre più precisa di pi greco considerando che

p_{6} < p_{12} < p_{24} < \dots < 2\cdot \pi \cdot r

\displaystyle \frac{p_{6}}{2\cdot r} < \frac{p_{12}}{2\cdot r} < \frac{p_{24}}{2\cdot r} < \dots < \frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot r}

\pi_{6} < \pi_{12} < \pi_{24} < \dots < \pi

Facciamo 3 passi, \Delta è necessario per il passo successivo

Numero lati 6 12 24
l, lato \displaystyle r \displaystyle \sqrt{\left(\frac{l_6}{2}\right)^2+\Delta_6^2} \displaystyle \sqrt{\left(\frac{l_{12}}{2}\right)^2+\Delta_{12}^2}
p, perimetro \displaystyle 6\cdot l_6 12\cdot l_{12} 24\cdot l_{24}
\pi, pi greco \displaystyle \frac{p_6}{2\cdot r} \displaystyle \frac{p_{12}}{2\cdot r} \displaystyle \frac{p_{24}}{2\cdot r}
a, apotema \displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_6}{2}\right)^2} \displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_{12}}{2}\right)^2} \displaystyle \sqrt{r^2-\left(\frac{l_{24}}{2}\right)^2}
\Delta, delta \displaystyle r-a_6 \displaystyle r-a_{12} \displaystyle r-a_{24}

Sostituendo l_6=r

Numero lati 6 12 24
Lato \displaystyle r \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot r \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot r
Perimetro \displaystyle 6\cdot r \displaystyle 12\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot r \displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot r
Pi greco \displaystyle 3 \displaystyle 6\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}} \displaystyle 12\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Apotema \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot r \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot r \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot r
Delta \displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\right)\cdot r \displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot r \displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\cdot r

L’approssimazione di \pi non dipende da r, per r=1

Numero lati 6 12 24
Lato 1 \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}} \displaystyle \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Perimetro 6 \displaystyle 12\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}} \displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Pi greco 3 \displaystyle 6\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}} \displaystyle 12\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Apotema \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}
Delta \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} \displaystyle 1-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}

Approssimazioni

Passo Numero lati \pi
1 6 \displaystyle 3 3,0000000000
2 12 \displaystyle 6\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}} 3,1058285412
3 24 \displaystyle 12\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} 3,1326286133
4 48 \displaystyle 24\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} 3,1393502030
5 96 \displaystyle 48\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}} 3,1410319509
6 192 \displaystyle 96\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}} 3,1414524723
7 384 3,1415576079
8 768 3,1415838921
9 1536 3,1415904632
10 3072 3,1415921060
11 6144 3,1415925167
12 12288 3,1415926194
13 24576 3,1415926450