Radice quadrata

< 100

La radica quadrata di un numero ab, minore di 100, è un numero A (con una cifra) tale che

(A)^2 = ab

Cerca a tentativi il numero A minore di 10 il cui quadrato sia minore, o uguale, di ab

Prova con 42 (= 6^2 + 6)

< 10.000

La radica quadrata di un numero abcd, minore di 10.000, è un numero AB (con 2 cifre) tale che

(AB)^2 = abcd

(AB)^2 = (A\cdot 10+B)^2

= A^2\cdot 100+2\cdot A\cdot B\cdot 10+B^2

= A^2\cdot 100+(20\cdot A+B)\cdot B

Osserva

  • La prima cifra della soluzione, A, è tale che il suo quadrato non superi il valore ab
  • La seconda cifra della soluzione, B, è tale che il valore dell’espressione (20\cdot A+B)\cdot B non superi il valore rimanente

Prova con 4.200 (= 64^2 + 104)

Prova con 4.277 (= 65^2 + 52)

< 1.000.000

La radica quadrata di un numero abcdef, minore di 1.000.000, è un numero ABC (con 3 cifre) tale che

(ABC)^2 = abcdef

(ABC)^2 = (AB\cdot 10 +C)^2

= AB^2\cdot 100 + 2\cdot AB\cdot C \cdot 10 +C^2

= 100\cdot AB^2 + (20\cdot AB +C) \cdot C

Osserva

  • La prima cifra…
  • La seconda cifra…
  • L’espressione per la terza cifra C è la stessa della precedente: il valore temporaneo A viene sostituito dal valore temporaneo AB = A\cdot 10+B

Prova con 420.000 (= 648^2 e resto=96)

Prova con 427.716 (= 654^2)

Riepilogo

  • \displaystyle \sqrt{42} = 6 e resto=6
  • \displaystyle \sqrt{4.200} = 64 e resto=104
  • \displaystyle \sqrt{4.277} = 65 e resto=52
  • \displaystyle \sqrt{420.000} = 648 e resto=96
  • \displaystyle \sqrt{427.716} = 654 e resto=0 (quadrato perfetto)

Ma allora…

  • \displaystyle \sqrt{42} = \displaystyle \frac{1}{10}\sqrt{4.200} = \displaystyle \frac{1}{10} (64 e resto=104) = 6,4 e resto=1,04
  • \displaystyle \sqrt{42} = \displaystyle \frac{1}{100}\sqrt{420.000} = \displaystyle \frac{1}{100} (648 e resto=94) = 6,48 e resto=0,0096

Algoritmo?

Dato un numero intero positivo o nullo calcola le cifre intere esatte della sua radice quadrata

  1. Dividi le cifre in coppie partendo da destra verso sinistra
  2. La prima cifra della soluzione è tale che il suo quadrato non superi la prima coppia (o singola cifra)
  3. Sottrai il suo quadrato e abbassa 2 cifre.
  4. Per tutte le cifre successive
    • moltiplica per 20 la soluzione parziale, SOL
    • individua il valore della x nell’espressione (20\cdot SOL+x)\cdot x che non superi il valore attuale
    • sottrai e abbassa due cifre…

E le cifre dopo la virgola?

  1. Se aggiungi due zeri al valore iniziale (moltiplichi per 100) puoi calcolare la prima cifra esatta dopo la virgola.
  2. Se aggiungi ancora due zeri (moltiplichi per 10.000) puoi calcolare anche la seconda cifra esatta dopo la virgola.
  3. Per ogni cifra esatta aggiuntiva aggiungi due zeri…

RISORSE