Serie

Da Wikipedia

Una successione è una sequenza ordinata di infiniti elementi.

Una serie è la somma degli elementi di una successione.

Si tratta di una generalizzazione dell’operazione di addizione, che può essere in tal modo estesa al caso in cui partecipano infiniti termini.


Si consideri una successione di elementi

\{a_n = a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, \dots \}

Si definisce serie associata a \{a_n} la somma formale

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \dots

Per ogni indice k della successione si definisce la somma parziale (o ridotta)

\displaystyle S_k = \sum_{n=0}^{k} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_k

come la somma dei termini della successione \{a_n} da 0 a k.

Si dice che la serie \{a_n\} tende o converge al limite L se la successione delle somme parziali \{S_k\} associata converge a L.

Ovvero

\displaystyle L = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \Leftrightarrow \lim_{k \rightarrow +\infty} S_k

Questo limite si dice somma della serie.

Serie notevoli

\displaystyle 1=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots Reciproci delle potenze di 2
\displaystyle 1=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\dots
\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots Leibniz
Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
\displaystyle \frac{\ \pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots Eulero
Reciproci dei quadrati
\displaystyle \frac{\ \pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots Reciproci delle 4° potenze
\displaystyle e=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots Reciproci dei fattoriali
\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} Rapporti tra le potenze e i fattoriali

RISORSE