Olimpiadi di Matematica – Gara Nazionale a Squadre 2001 – Numero 2

I pianeti della confederazione vengono identificati da una coppia di numeri naturali.
La capitale (il pianeta d’origine della civiltà) è (0, 0) e il primo pianeta colonizzato viene identificato con la coppia (1, 0), il secondo da (0, 1), il terzo da (2, 0), il quarto da (1, 1) e così via.
Che posizione occupa il pianeta (24, 25) nella storia dei pianeti colonizzati dagli Imo?

(N.B. Più formalmente (a, b) viene prima di (c, d) se e solo se: a+b < c+d oppure a+b=c+d e a > c.)

Soluzione

I pianeti identificati uno dopo l’altro sono Che posizione occupa il pianeta (24, 25) ?
(1, 0) (0, 1)
(2, 0) (1, 1) (0, 2)
(3, 0) (2, 1) (1, 2) (0, 3)
(4, 0) (3, 1) (2, 2) (1, 3) (0, 4)

(48, 0) (47, 1)(1, 47) (0, 48)
(49, 0) (48, 1)(24, 25)(1, 48) (0, 49)
_2 +
_3 +
_4 +
_5 +
.. +
49 +
26 =
\displaystyle \sum_{i=1}^{49} i\ -1\ +\ 26 = \displaystyle \frac{49\cdot 50}{2}\ +\ 25 = 1250