2009/10 – Fase scolastica – 06

di

Un regista vuole sapere quante proiezioni del suo film sono state fatte in un certo cinema.
L’usciere del cinema in cui il film è stato proiettato gli fornisce queste informazioni:

  • Alla prima proiezione c’era un solo spettatore
  • A ogni nuova proiezione il numero degli spettatori è cresciuto di un’unità rispetto alla proiezione precedente
  • Il numero totale di spettatori durante tutte le proiezioni è stato 820.

Quante proiezioni ci sono state?

Soluzione: 40.

Soluzione #1

(???) Elenco le proiezioni finché non giungo a 820 spettatori

Proiezione Spettatori Spettatori
TOTALI
1 1 1
2 2 3
3 3 6
4 4 10
5 5 15
6 6 21
7 7 28
8 8 36
9 9 45
10 10 55
11 11 66
12 12 78
13 13 91
14 14 105
15 15 120
17 17 153
18 18 171
19 19 190
20 20 210
22 22 253
23 23 276
24 24 300
25 25 325
26 26 351
27 27 378
28 28 406
29 29 435
30 30 465
31 31 496
32 32 528
33 33 561
34 34 595
35 35 630
36 36 666
37 37 703
38 38 741
39 39 780
40 40 820

Soluzione #2

(?) Elenco le prime 10 proiezioni

Proiezione Spettatori Spettatori
TOTALI
1 1 1
2 2 3
3 3 6
4 4 10
5 5 15
6 6 21
7 7 28
8 8 36
9 9 45
10 10 55

Gli spettatori delle prossime 10 proiezioni sono

11 = 10+1
12 = 10+2
…
20 = 10 +10

quindi

100+55 = 155 spettatori

e quindi sono in totale

55+155=210.

Gli spettatori delle prossime 10 proiezioni sono

21 = 20+1
22 = 20+2
…
30 = 20 +10

quindi

200+55 = 255 spettatori

e quindi sono in totale

210+255=465.

Gli spettatori delle prossime 10 proiezioni sono

31 = 30+1
32 = 30+2
…
40 = 30 +10

quindi

300+55 = 355 spettatori

e quindi sono in totale

465+355=820.

Alla 40-esima proiezione si raggiungono gli 820 spettatori.

Soluzione #3

La somma dei numeri interi da 1 a n è

n*(n+1)/2.

Per risolvere il problema è necessario risolvere l’equazione

n*(n+1)/2 = 820
…
n2+n-1640 = 0
…
n = 40

Oppure si può risolvere intuitivamente

n*(n+1) = 1640

provo…

4*4 = 16
40*40 = 1600
40*41 = 1640

e concludo

n = 40.