Bilance e pesate


OII 20-11-2003 – Numero 3

Un ladro riesce ad aprire la cassaforte di una banca dove si trovano 100 sacchetti pieni d’oro, ma ha la possibilità di rubarne uno solo.
99 sacchetti hanno il medesimo contenuto mentre uno è più pesante in quanto contiene più oro.
Chiaramente il ladro vuole portare con sé il sacchetto più pesante.
Ha a disposizione una bilancia a due piatti: su ogni piatto può mettere la quantità di sacchetti che vuole, e la bilancia gli indica il piatto su cui è collocato il peso superiore.
Prima di iniziare a pesare i sacchetti il ladro vuole calcolare quante pesate dovrà al massimo fare per avere la certezza di scegliere il sacchetto giusto.

Quante sono queste pesate?

Risposte: 6 | 7 | 99 | nessuna delle precedenti.

SOLUZIONE

Soluzioni commentate

Qualsiasi bilancia a due piatti segnala se i due pesi sono uguali.
Suddividendo i sacchetti iterativamente in tre gruppi, occorrono cinque pesate (34 < 100 <= 35).

Quindi le risposta esatta è d.


OII 18-11-2005 – Numero 12

In un allevamento di bovini bisogna selezionare il più leggero fra 4 capi, avendo a disposizione un unico tipo di bilancia che, date due coppie di bovini, indica la coppia più leggera (si assuma che non esistano due coppie di bovini dello stesso identico peso).
Nota bene: la bilancia non permette di confrontare il peso di due bovini fra loro e non fornisce il peso di una coppia di bovini.

Dire quale delle seguenti affermazioni è vera:

  1. 2 pesate sono sempre sufficienti
  2. 2 pesate non sono sempre sufficienti e 3 pesate sono sempre sufficienti
  3. ci sono casi in cui questo tipo di bilancia non permette di trovare il bovino più leggero.

SOLUZIONE 1

Soluzioni commentate

Possono esserci casi in cui è possibile selezionare il bovino più leggero con tre pesate.
Ci sono, però, casi in cui l’intersezione è vuota e non è possibile selezionare il più leggero.

Si pensi ai due seguenti casi che danno gli stessi risultati nelle pesate:

  • bovino A=7
  • bovino B=8
  • bovino C=10
  • bovino D=20

e

  • bovino A=8
  • bovino B=7
  • bovino C=10
  • bovino D=20.

Per questo motivo la risposta corretta è c).


SOLUZIONE 2

Tratta da: Materiale didattico 2008

Chiamiamo i quattro bovini B1, B2, B3, B4 e per ogni bovino Bi indichiamo con P(Bi) il suo peso.

Per ipotesi del problema nessuno ha peso uguale ad un altro possiamo quindi assumere senza perdere di generalità che P(B1) > P(B2) > P(B3) > P(B4).

L’allevatore dovrà confrontare i pesi delle varie coppie.

Immaginiamo ora che il peso del bovino più grande sia decisamente più grande rispetto agli altri, ad esempio che pesi 30 Kg, mentre gli altri pesano rispettivamente 11 kg, 10 Kg e 9 Kg.

Visto che P(B1) >P(Bi)+P(Bj), per ogni i, j con 2 <= i, j <= 4 avremo che in qualsiasi pesata, qualunque sia il bovino che mettiamo con B1, avremo che il peso della coppia con B1 sarà maggiore di qualsiasi altra.

Avremo quindi che P(B1)+P(Bi) > P(Bj)+P(Bk) per ogni 2 <= i, j, k <= 4.

Non possiamo quindi in questo caso sapere qual è il bovino più leggero, ma solo sapere il bovino più pesante.


OLICYBER 2021 – 7

Hai a disposizione 32 palline da tennis identiche, 31 delle quali pesano esattamente uguali e la 32esima più pesante delle altre-

Ti viene fornita una bilancia con due piatti e un display digitale che mostra le differenze di peso tra i due piatti.

Quale il numero minimo di pesate necessarie per individuare con esattezza la pallina più pesante?

Risposte: 3 | 4 | 5 | 6

SOLUZIONE

Dividi le palline in 3 gruppi

  • {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
  • {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K}
  • {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}

e continua a pesare coppie di gruppi e dividere successivamente in 3 gruppi

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

  • {1, 2, 3} -> {1} {2} {3} (3)
  • {4, 5, 6} -> {4} {5} {6} (3)
  • {7, 8, 9, 10} -> {7} {8} {9, 10} -> {7} {8} {9}{10} (4)

{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K}

  • {A, B, C, D} -> {A, B} {C, D} -> {A}{B} {C}{D} (4)
  • {E, F, G, H} -> {E, F} {G, H} -> {E}{F} {G}{H} (4)
  • {I, J, K} -> {I} {J} {K} (3)

{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}

  • {a, b, c, d} -> {a} {b} {c, d} -> {a}{b} {c}{d} (4)
  • {e, f, g, h} -> {e} {f} {g, h} -> {e}{f} {g}{h}
  • {i, j, k} -> {i} {j} {k} (3)

Risposta: 4