Esame di Stato fino al 2000

Anno 1990

Si scriva un programma che produca i numeri primi inferiori a 100.000. Si calcoli quanti sono i numeri primi che cadono in ciascuno dei seguenti intervalli

  • 1 – 1.000
  • 1.001 – 2.000
  • 2.001 – 3.000
  • 99.001 – 100.000.

Anno 1992

Si desidera fondere due sequenze A e B di numeri interi, non ordinate e con eventuali valori ripetuti, in un’unica sequenza C nella quale compaiono, in ordine crescente e senza ripetizioni, i valori presenti in A e in B. Il candidato formulate le ipotesi aggiuntive che ritiene necessarie, proponga ed illustri una procedura per risolvere il problema e la codifichi in un linguaggio di sua conoscenza.


Anno 1993 PNI – 3

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente. A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

  1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
  2. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

Anno 1993 Suppletiva PNI – 3

Una macchina produce pezzi meccanici. Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

  1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
    • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
    • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
    • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
  2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
  3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
  4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

Anno 1997 Suppletiva PNI – 3

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso. Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo. Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

Anno 1998 PNI – P3

Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare la cui lunghezza ottimale dovrebbe essere di 5 metri ed il diametro della sezione di 4 centimetri.
Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno una lunghezza aleatoria con distribuzione normale di media m1 = 5 m e scarto standard σ1=4 cm.
Il diametro della sezione è una variabile aleatoria, indipendente dalla precedente, e con distribuzione normale di media m2 = 4 cm e scarto standard σ2=0, 8 cm.
Una generica barra prodotta può essere direttamente venduta senza modifiche se la sua lunghezza è compresa tra 4,95 m e 5,05 m e la sua sezione tra 2,8 cm e 5,2 cm.

La tavola della funzione di ripartizione della normale standardizzata è data.

Il candidato:

  1. verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68;
  2. indicata con fn la frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte, esprima, in funzione di p, la numerosità n necessaria perché la probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05;
  3. dato il valore di p rilevato in 1) se su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili, dica se si può sospettare che la macchina non funzioni secondo lo standard riportato sopra, se, cioè, il risultato ottenuto risulta a priori poco probabile (probabilità inferiore a 0,05) subordinatamente alle modalità di funzionamento della macchina, come indicato;
  4. descriva una procedura che consenta di calcolare la probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova, al variare di p e di n, e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.