Esame di Stato 2009 PNI – 3

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

Vedi la discussione: (La moneta di Buffon 1) – La moneta di Buffon 2

La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se il suo centro cade all’interno del quadrato interno

Siano

L: il lato della piastrella
S: la superficie della piastrella
D: il diametro della moneta
L_i: il lato del quadrato interno
S_i: la superficie del quadrato interno
p_i: la probabilità che il centro della moneta cada nel quadrato interno

Allora

p_i = $\displaystyle \frac{S_i}{S}$ = $\displaystyle \frac{L_i^2}{L^2}$ = $\displaystyle \frac{(L-D)^2}{L^2}$ = $\displaystyle \left(\frac{L-D}{L}\right)^2$ = $\displaystyle \left(1-\frac{D}{L}\right)^2$

Sostituendo i valori del quesito

L = 10 cm
D = 25,75 mm = 2,575 cm

si ottiene

p_i = … = 0,55130625 ~ 55 %

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