Esame di Stato 2012 PNI – 2

di

Una moneta di 1 euro (il suo diametro è di 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

Vedi 2009 PNI – 3

buffon6

La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno dell’esagono interno

Siano

  1. L: lato della piastrella
  2. S: superficie della piastrella
  3. D: diametro della moneta
  4. A: apotema, altezza del triangolo equilatero di lato L
  5. Ai: apotema dell’esagono interno
  6. Si: superficie dell’esagono interno
  7. pi: probabilità che la moneta cada all’interno

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie dell’esagono interno Si e della piastrella intera S

  1. L = 10 cm
  2. D = 2R = 23,25 mm = 2,325 cm
  3. A = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}L
  4. Ai = A – R
  5. pi = \displaystyle \frac{S_i}{S}

Osserva

  1. Il rapporto tra le superfici dei due esagoni è uguale al rapporto tra i quadrati dei lati
  2. Il rapporto tra le superfici dei due esagoni è uguale al rapporto tra i quadrati degli apotemi

Calcoli…

\displaystyle p_i=\frac{A_i^2}{A^2}=\dots ~ 75%

Se vuoi dimostrare che…

\displaystyle p_i = \displaystyle \frac{S_i}{S} = \displaystyle \frac{6\cdot \frac{b_i\cdot h_i}{2}}{6\cdot \frac{b\cdot h}{2}} = \displaystyle \frac{b_i\cdot h_i}{b\cdot h} = \displaystyle \frac{L_i\cdot A_i}{L\cdot A} = \displaystyle \frac{L_i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} L_i}{L\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} L} = \displaystyle \frac{L_i^2}{L^2}

\displaystyle p_i = \displaystyle \frac{S_i}{S} = \displaystyle \frac{6\cdot \frac{b_i\cdot h_i}{2}}{6\cdot \frac{b\cdot h}{2}} = \displaystyle \frac{b_i\cdot h_i}{b\cdot h} = \displaystyle \frac{L_i\cdot A_i}{L\cdot A} = \displaystyle \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}A_i\cdot A_i}{\frac{2}{\sqrt{3}}A\cdot A} = \displaystyle \frac{A_i^2}{A^2}

\displaystyle p_i = \displaystyle \frac{A_i^2}{A^2} = \displaystyle \frac{(A-R)^2}{A^2} = \displaystyle \left(\frac{A-R}{A}\right)^2 = \displaystyle \left(1-\frac{R}{A}\right)^2 = \displaystyle \left(1-\frac{2\cdot R}{\sqrt{3}\cdot L}\right)^2