Matrici: operazioni

di
Algebra lineare

Trasposta

La trasposta di A è la matrice con gli elementi “ribaltati” rispetto alla diagonale principale.
Le righe di A diventano le colonne di A^T.

\displaystyle C = A^T

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}^T

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\a_{12} & a_{22} & a_{32} \\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{bmatrix}

Proprietà

  • c_{ij} = a_{ji}

Simmetrica

Una matrice A è simmetrica se è uguale alla sua trasposta

\displaystyle A = A^T

Proprietà

  • a_{ij} = a_{ji}

Prodotto per uno scalare

\displaystyle C = k\cdot A

= \displaystyle k\cdot \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}k\cdot a_{11} & k\cdot a_{12} & k\cdot a_{13} \\k\cdot a_{21} & k\cdot a_{22} & k\cdot a_{23} \\k\cdot a_{31} & k\cdot a_{32} & k\cdot a_{33}\end{bmatrix}

Proprietà

  • \displaystyle c_{ij} = k\cdot a_{ij}
  • \displaystyle k\cdot A = A\cdot k
  • \displaystyle 0\cdot A = A\cdot 0 = \textbf{0}

Addizione

A_{3x3} + B_{3x3} \rightarrow C_{3x3}

\displaystyle C = A+B

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33}\end{bmatrix}

Proprietà

  • \displaystyle c_{ij} = a_{ij}+b_{ij}
  • \displaystyle A+B = B+A
  • \displaystyle (A+B)+C = A+(B+C)
  • \displaystyle A+\textbf{0} = \textbf{0}+A = A
  • La somma di due matrici triangolari (simili) è una matrice triangolare
  • La somma di due matrici diagonali (simili) è una matrice diagonale

\displaystyle C = A-B

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \\a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33}\end{bmatrix}

Proprietà

  • \displaystyle c_{ij} = a_{ij}-b_{ij}
  • \displaystyle A-B = A+(-B)
  • \displaystyle A+(-A) = \textbf{0}
  • \displaystyle -A = (-1)\cdot A

Prodotto

\displaystyle C=A\cdot B

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\b_{21} & b_{22} & b_{23} \\b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & c_{13} \\c_{21} & c_{22} & c_{23} \\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{bmatrix}

Proprietà

  • \displaystyle c_{ij} = a_{i*}\cdot b_{*j}
    Prodotto scalare tra una riga di A e una colonna di B
  • \displaystyle A\cdot B \ne B\cdot A
    La moltiplicazione tra matrici non è commutativa
  • \displaystyle (A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)
  • \displaystyle (A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T
  • \displaystyle (A+B)\cdot C = A\cdot C + B\cdot C
  • \displaystyle A\cdot(B+C) = A\cdot B + A\cdot C
  • \displaystyle A\cdot \textbf{0} = \textbf{0}\cdot A = \textbf{0}
  • \displaystyle A\cdot \textbf{I} = \textbf{I}\cdot A = A
  • Il prodotto di due matrici triangolari è una matrice triangolare
  • Il prodotto di due matrici diagonali è una matrice diagonale

Due matrici sono compatibili per il prodotto se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda.

\displaystyle C = A\cdot B

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\a_{41} & a_{42} & a_{43}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\b_{21} & b_{22}\\b_{31} & b_{32}\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} \\a_{41}b_{11}+a_{42}b_{21}+a_{43}b_{31} & a_{41}b_{12}+a_{42}b_{22}+a_{43}b_{32} \\\end{bmatrix}

= \displaystyle \begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} \\c_{21} & c_{22} \\c_{31} & c_{32} \\c_{41} & c_{42} \end{bmatrix}

Esempi di compatibilità

  • A_{3x3} \cdot B_{3x1} \rightarrow C_{3x1}
  • A_{2x3} \cdot B_{3x2} \rightarrow C_{2x2}
  • A_{4x3} \cdot B_{3x2} \rightarrow C_{4x2}