Moneta di Buffon 1 – ValCon.It

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento ricoperto di assi parallele (parquet…).

La probabilità che la moneta tocchi il bordo di un’asse dipende dall’altezza di ogni striscia e dal raggio della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di una striscia interna

$H$ , altezza della striscia sul pavimento
$\displaystyle R$ , raggio della moneta, $0 \leq R \leq H/2$
$h$ , altezza della striscia interna, $h=H-2\cdot R$

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie della striscia interna e la superficie di tutta la striscia, quindi dal rapporto tra le due altezze

$\displaystyle p_i = \frac{S_i}{S}=\frac{h}{H}=\frac{H-2\cdot R}{H}=1-\frac{2\cdot R}{H}$

La probabilità di toccare il bordo

$\displaystyle p = 1-p_i=\frac{2\cdot R}{H}$

Per semplificare i calcoli: $H=1$

$\displaystyle 0 \leq R \leq \frac{1}{2}$
$\displaystyle p_i = 1-2\cdot R$
$\displaystyle p = 2\cdot R$

Al variare del raggio della moneta si ottengono le probabilità

R	p_i	p
$\displaystyle \frac{1}{8}$	$\displaystyle \frac{6}{8}$	$\displaystyle \frac{2}{8}$	= 0,25
$\displaystyle \frac{2}{8}$	$\displaystyle \frac{4}{8}$	$\displaystyle \frac{4}{8}$	= 0,50
$\displaystyle \frac{3}{8}$	$\displaystyle \frac{2}{8}$	$\displaystyle \frac{6}{8}$	= 0,75

Naturalmente

Se $R \rightarrow 0$ allora $p \rightarrow 0$
Se $\displaystyle R \rightarrow \frac{1}{2}$ allora $p \rightarrow 1$

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

il centro della striscia ha $y=0$
l’ordinata del centro della moneta $\displaystyle -\frac{1}{2} \leq y \leq +\frac{1}{2}$
la moneta tocca il bordo di una striscia se $\displaystyle |y| \geq \frac{1}{2}-R$

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della striscia e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R	10	100	1 000	10 000	100 000
$\displaystyle \frac{1}{8}$	?	?	?		?	0,25
$\displaystyle \frac{2}{8}$	?	?	?		?	0,50
$\displaystyle \frac{3}{8}$	?	?	?		?	0,50