OII 2019-11-20

1

Valerio e Martina hanno scoperto di aver ereditato una piccola somma da un lontano parente venuto a mancare da poco.
Il testamento contiene le indicazioni sull’importo che spetta a ciascuno dei due ragazzi, ovvero quanto segue:

“Vorrei che il doppio di quanto spetti a Martina sia pari al triplo di quanto spetti a Valerio; vorrei inoltre che il doppio di quanto spetti a Valerio, sommato con il triplo di quanto spetti a Martina, sia pari a 13.000 euro.”

Qual è il valore complessivo VALTOT dell’eredità di Martina e Valerio?

2

Dato un cassetto con 50 calzini bianchi e 50 calzini neri qual è il numero minimo NUMCALZINI di calzini da estrarre per essere sicuri di averne almeno due dello stesso colore?

3

Dato il seguente insieme A = {1, 2, 3, 4, 7, 32, 89, 145, 106, 33, 36, 39}, qual è il numero di possibili coppie non ordinate di insiemi A1 e A2 tali che |A1| = |A2| (dove con |X| si intende il numero di elementi contenuti nell’insieme X), A1 ∪ A2 = A, A1 ∩ A2 = Ø e somma(A1) = somma(A2) (dove somma(X) è la somma di tutti gli elementi nell’insieme X)?

Indicare quella corretta fra le seguenti:

  • 212
  • 26
  • 0
  • 4

4

Un numero naturale è palindromo se letto in senso inverso è identico a sé stesso; ad esempio, 151 e 17271 sono numeri palindromi.
Un numero naturale n si dice palizero se ha un numero dispari di cifre, è palindromo e la cifra che appare una sola volta al centro è lo 0.
Es. 1234567890987654321 è palizero, 3980893 è palizero, 23732, 23400432 e 124421 sono palindromi ma non palizeri.

Si dica quanti sono i numeri palizeri compresi tra 103 e 105 estremi esclusi, scegliendo una tra le seguenti alternative.

  • 102
  • 10*9
  • 102+(103)*2
  • 10*9+9

5

Due treni sono sullo stesso binario e viaggiano uno verso l’altro; la distanza iniziale tra di loro è di 300 km; il primo treno viaggia a 80 km/h, il secondo a 70 km/h. Un velocissimo colibrì, che vola a 120 km/h, parte dalla locomotiva del primo treno e arriva a toccare la locomotiva del secondo, a quel punto si gira e torna indietro fino a toccare la locomotiva del primo, dove si gira e torna indietro e così via finché i due treni si scontrano.

Quanti chilometri ha percorso, complessivamente, il colibrì?

  • 160
  • 200
  • 240
  • 300

13

Nell’informatica si parla di “edit distance” quando si vuole misurare quanto sono diverse due parole w1 e w2.
Si dice che due parole w1 e w2 hanno distanza:

  • 1 se w1 è ottenuta da w2 modificando una lettera (ad esempio, sono a distanza 1 “cane” e “cene”) o viceversa;
  • 2 se w1 è ottenuta da w2 inserendo una lettera in una qualunque posizione (ad esempio, sono a distanza 2 “mangia” e “mangiai”) o viceversa.

Luca ha saputo che Mario partecipa alle Olimpiadi di Informatica e ha deciso di cercare su Google che cosa sono, ma ha commesso alcuni errori di battitura e ha scritto: “Olinpiadi Italianer de Informatia”.
Sapendo che la distanza tra due frasi è la somma delle distanze tra le parole corrispondenti, indicare DIST, ovvero quanto la frase scritta da Luca si discosta da “Olimpiadi Italiane di Informatica”.

14

Siano A e B due insiemi tali che A = {1, 2, 5, 8} e B = {3, 5, 9, 11, 42}.
Si definisce D(x, X) il numero di elementi presenti in X di cui x è un divisore (formalmente D(x, X) = #{y in X such that x | y}).
Indicare il più piccolo numero c tale che risulti D(c, A) > D(c, B).

15

Data la funzione f(x) = 2x (mod 7) (ovvero f(x) è il resto ottenuto dividendo 2x per 7) si consideri la seguente tabella, denominata BF1:

Una generica tabella di tipo BF rappresenta un insieme di interi.
La regola per inserire valori nella tabella BF è la seguente: inizialmente sono tutti zero.
Se si vuole inserire in BF un intero x, si deve applicare a x la funzione f e poi scrivere un 1 nella posizione numero f(x).
Se era già presente un 1 in posizione f(x) non si deve fare niente.
Ad esempio, se si vuole inserire nella tabella BF1 il numero 6 non si deve far altro che osservare che 6*2 modulo 7 fa 5 e inserire un 1 in posizione 5, ottenendo la tabella BF2:

Indicare la corretta fra le seguenti affermazioni, riferite alla prima tabella BF1:

  • In BF1 è presente il numero 4
  • In BF1 non è presente il numero 19
  • In BF1 potrebbe essere presente il numero 6
  • In BF1 potrebbe essere presente il numero 12

16

Nel gioco Lights Out si ha una matrice di 5×5 luci, che possono essere accese o spente.
Premendo su un elemento della matrice, si cambia lo stato di quell’elemento e dei suoi quattro vicini (alto, basso, destra e sinistra), come mostrato nella figura di seguito.

Si consideri una versione semplificata, con una matrice 4×4 come quella mostrata nella figura qui sotto.
Inizialmente le luci sono tutte spente.
Una mossa consiste nel premere un elemento della matrice.
Qual è il numero minimo NUMMOSSE che bisogna fare per arrivare alla configurazione in cui tutte le luci sono accese?

17

Si prenda R = {00101, 101, 1010101, 1111001}.
Si indichi una stringa binaria w (fatta di soli 0 e 1) che contenga al più 13 caratteri tale che ogni stringa presente nell’insieme R sia una sottostringa di w.

18

La grafica della tartaruga prevede che si possano impartire degli ordini di movimento a una tartaruga, che li eseguirà lasciando sul terreno una traccia dei suoi movimenti, come se avesse una penna attaccata sotto la pancia.
Gli ordini possono essere impartiti tramite un semplice linguaggio, stando attenti che:

  • le istruzioni destra e sinistra sono relative all’orientamento attuale della tartaruga, e il numero che segue è un angolo di rotazione (rispettivamente orario e antiorario) espresso in gradi;
  • le istruzioni pennasu e pennagiu sollevano e abbassano rispettivamente la penna sotto la pancia della tartaruga: quando la penna è sollevata ovviamente non lascia tracce sul terreno;
  • l’istruzione ripeti fa ripetere il blocco che segue, delimitato da parentesi graffe, per un numero di volte indicato a fianco dell’istruzione.

Quest’anno la tartaruga vuole realizzare un autoritratto.
Prima ha disegnato la sua sagoma a matita (in figura la linea tratteggiata) e poi ha iniziato a ricalcarla con la penna.
In questo momento la tartaruga si trova nel vertice in alto a sinistra dell’esagono più alto ed è nella condizione pennagiu, sapendo che gli esagoni del carapace sono regolari e hanno lato l, scegliere tra le seguenti quattro alternative quella che non fa il disegno corretto.

Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Alternativa D

19

In un vecchio edificio ci sono 10 computer che devono essere collegati in rete.
Dato l’elevato spessore delle pareti, non è possibile usare una rete wifi e si decide, quindi, di collegarli via cavo.
Non sono possibili tutti i collegamenti, e ogni collegamento ha un costo diverso.
Si deve aiutare a progettare la rete scegliendo i nove collegamenti necessari per fare in modo che ogni computer sia collegato alla rete (ovvero ad almeno un altro computer) e che il costo complessivo sia minimo.
Dopo che i nove collegamenti saranno stati scelti, indicare il costo totale TOTCOSTO, pari alla somma dei costi dei nove collegamenti selezionati.

20

La famosa Sushi Squad, composta da 5 studenti delle scuole superiori, si trova nel noto sushi bar Minimax Hao.
Dal tavolo del sashimi (riportato in figura) i 5 protagonisti possono prendere un solo piatto, ma la squadra si divide in 2: gli amanti del salmone (S) e gli amanti del tonno (T), in cui ognuna delle due fazioni vuole che dal tavolo venga preso il piatto contenente la maggior quantità del pesce preferito.
Le due squadre S e T si disputano la scelta del piatto giocando secondo questa logica: la squadra S ha diritto a selezionare una riga, la squadra T una colonna.

C1 C2
R1 3 salmone
1 tonno
2 salmone
3 tonno
R2 5 salmone
0 tonno
1 salmone
4 tonno
R3 1 salmone
2 tonno
4 salmone
4 tonno

Valutare i due seguenti scenari.

  • (A) Sia la squadra S ad iniziare il gioco. S seleziona la riga in modo tale che, qualunque sia la colonna che sceglierà T nella mossa successiva, sia massimo il numero minimo di filetti di salmone nel piatto. T, quando arriva il suo turno, sceglie semplicemente il piatto con più filetti di tonno.
  • (B) Sia la squadra T ad iniziare il gioco. T seleziona la colonna in modo tale che, qualunque sia la riga scelta da S nella mossa successiva, sia massimo il numero minimo di filetti di tonno nel piatto. Quando arriva il turno di S, questa sceglie semplicemente il piatto con più filetti di salmone.

Si devono indicare RA e CA (ovvero i numeri di riga e colonna scelti nello scenario A) e RB e CB (ovvero i numeri di riga e colonna scelti nello scenario B).
Per esempio, la risposta “1” (numero intero di una sola cifra) per RA indica che si intende dare come risposta la prima riga dello scenario A.


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