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Prodotto vettoriale

05/07/202527/09/2024 di admin

Algebra lineare

$\displaystyle \vec{a} \times \vec{b}$ = $\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

= $\vec{i}\cdot (a_2b_3-a_3b_2)-\vec{j}\cdot (a_1b_3-a_3b_1)+\vec{k}\cdot (a_1b_2-a_2b_1)$

= $(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}$

= $\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}$

Proprietà

$\displaystyle \vec{i}\times \vec{j} = \vec{k}$
$\displaystyle \vec{j}\times \vec{k} = \vec{i}$
$\displaystyle \vec{k}\times \vec{i} = \vec{j}$
$\displaystyle \vec{a}\times \vec{a} = \vec{0}$
$\displaystyle \vec{a}\times \vec{b} = -\vec{b}\times \vec{a}$
$\displaystyle (k \vec{a})\times \vec{b} = k(\vec{a}\times \vec{b}) = \vec{a}\times (k\vec{b})$
$\displaystyle (\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c} = \vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$
$\displaystyle \vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$
…

Risorse online

https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)
https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/686-prodotto-vettoriale.html

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