QUESITI – Palline

Anno 2019 Simulazione 2 – 3

Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.

Se ne estraggono 3, una alla volta, rimettendo ogni volta nella scatola la pallina estratta.
Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 10 e gli altri due minori di 10?
Se ne estraggono 5 contemporaneamente.
Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?

SOLUZIONE – Quesito 1

p(1° numero estratto 10 e gli altri due minori di 10)

= p(1° uguale a 10 e 2° minore di 10 e 3° minore di 10)

= p(1° uguale a 10) · p(2° minore di 10) · p(3° minore di 10)

= $\displaystyle \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{9}{16}$ = $\displaystyle \frac{81}{4096}$ = 0,019775… ~ 2 %

SOLUZIONE – Quesito 2

p(13 e altri 4 valori minori di 13)

= p(ABCD13 oppure ABC13E oppure AB13DE oppure A13CDE oppure 13BCDE)

= p(ABCD13) + p(ABC13E) + p(AB13DE) + p(A13CDE) + p(13BCDE)

= $\displaystyle \frac{12}{16} \cdot \displaystyle \frac{11}{15} \cdot \displaystyle \frac{10}{14} \cdot \displaystyle \frac{9}{13} \cdot \displaystyle \frac{1}{12}$ + $\displaystyle \frac{12}{16} \cdot \displaystyle \frac{11}{15} \cdot \displaystyle \frac{10}{14} \cdot \displaystyle \frac{1}{13} \cdot \displaystyle \frac{9}{12}$ + $\displaystyle \frac{12}{16} \cdot \displaystyle \frac{11}{15} \cdot \displaystyle \frac{1}{14} \cdot \displaystyle \frac{10}{13} \cdot \displaystyle \frac{9}{12}$ + $\displaystyle \frac{12}{16} \cdot \displaystyle \frac{1}{15} \cdot \displaystyle \frac{11}{14} \cdot \displaystyle \frac{10}{13} \cdot \displaystyle \frac{9}{12}$ + $\displaystyle \frac{1}{16} \cdot \displaystyle \frac{12}{15} \cdot \displaystyle \frac{11}{14} \cdot \displaystyle \frac{10}{13} \cdot \displaystyle \frac{9}{12}$

= $\displaystyle 5\cdot \frac{9\cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{12\cdot 13 \cdot 14\cdot 15 \cdot 16}$ = $\displaystyle \frac{3\cdot 5\cdot 11}{7\cdot 13\cdot 16}$ = 0,1133… ~ 11,33 %

oppure

Numero di quintuple ordinate con 4 numeri minori di 13 seguiti dal 13 (ABCD13): $\displaystyle {12 \choose 4}$

Numero di quintuple ordinate con i numeri da 1 a 16 (ABCDE): $\displaystyle {16 \choose 5}$

p(…) = $\displaystyle \frac{\displaystyle {12 \choose 4}}{\displaystyle {16 \choose 5}}$ = $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12!}{4!\cdot 8!}}{\displaystyle \frac{16!}{5!\cdot 11!}}$ = $\displaystyle \frac{3\cdot 5\cdot 11}{7\cdot 13\cdot 16}$ = 0,1133… ~ 11,33 %

INVALSI – II – 2105/16 – 29

Nella scatola A vi sono 6 palline verdi e 4 rosse.
Nella scatola B vi sono invece 12 palline verdi e 5 rosse.

Quante palline verdi si devono spostare dalla scatola B alla scatola A affinché la probabilità di estrarre una pallina verde da A diventi uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B?

SOLUZIONE 1

Per tentativi…

Scatola A	p()	Scatola B	p()
	$\displaystyle \frac{6}{10}$ = $\displaystyle \frac{3}{5}$		$\displaystyle \frac{12}{17}$
	$\displaystyle \frac{7}{11}$		$\displaystyle \frac{11}{16}$
	$\displaystyle \frac{8}{12}$ = $\displaystyle \frac{2}{3}$		$\displaystyle \frac{10}{15}$ = $\displaystyle \frac{2}{3}$

Spostando 2 palline verdi dalla scatola B alla scatola A la probabilità di estrarre una pallina verde da A è uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B, $\displaystyle \frac{2}{3}$

SOLUZIONE 2

Algebricamente…

$\displaystyle \frac{6+x}{10+x}$ = $\displaystyle \frac{12-x}{17-x}$

…

x = 2

OII 30-11-2012 – 3

In un’urna sono contenute 100 palline numerate dall’1 al 100.
Si estrae una pallina dall’urna.

Supposto che le palline abbiano tutte uguale probabilità di essere estratte, qual è la probabilità che la pallina estratta sia un quadrato perfetto minore stretto di 49 (si ricordi che anche 1 è un quadrato perfetto).

SOLUZIONE

I quadrati perfetti in [1, 100] e minori di 49 sono

1, 4, 9, 16, 25, 36.

La probabilità di estrarre tra le 100 palline una delle 6 richieste è

$\displaystyle p =\frac{6}{100}$ = 0,06 = 6%

OLICYBER 2022 – 3

Una scatola contiene 3 palline bianche e 2 nere.
Vengono estratte (senza reimmissione) fino a quando tutte le
palline rimanenti dentro la scatola sono dello stesso colore.
Qual e la probabilità che l’ultima pallina estratta sia bianca?

3/10 | 2/5 | 3/5 | 1/2

SOLUZIONE

Probabilità degli esiti favorevoli

p(BBB NN) + p(BBNB N) + p(BNBB N) + p(NBBB N)

= $\displaystyle \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{1}{3}$ + $\displaystyle \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}$ + $\displaystyle \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}$ + $\displaystyle \frac{2}{5}\frac{3}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2}$

= $\displaystyle \frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}$

= $\displaystyle \frac{2}{5}$

???

Ho due sacchetti contenenti ciascuno cinque palline di colori diversi.
Nel primo ci sono 3 palline rosse e 2 nere, nel secondo 1 pallina rossa, 1 nera e 3 gialle.
Estraggo a caso una pallina dal primo sacchetto e la introduco nel secondo.
In seguito estraggo, sempre a caso, una pallina dal secondo e la introduco nel primo.
Qual è la probabilità che alla fine la composizione dei due sacchetti sia uguale a quella originaria, cioè a quella descritta prima delle due estrazioni?

???

Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20.
Se ne estraggono due.
La probabilità di estrarre prima quella numerata con il 5 e poi, senza reinserimento, quella con il 10 è …

???

Un’urna contiene 80 palline di colore diverso: 20 bianche, 18 verdi, 32 rosse, 10 gialle.
Si estrae una pallina; qual è la probabilità che la pallina non sia di colore rosso?