Sistemi lineari, con l’eliminazione di Gauss

Considera il sistema lineare

$\displaystyle Ax = b$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix}$

Applica l’eliminazione di Gauss alla matrice A affiancata da b

$A | b$

$G\cdot A | G\cdot b$

$T | c$

$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3\end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} & | & c_{1} \\0 & t_{22} & t_{23} & | & c_{2} \\0 & 0 & t_{33} & | & c_{3} \\\end{bmatrix}$

Si ottiene un sistema, con le stesse soluzioni

$\displaystyle Tx = c$

$\displaystyle \begin{bmatrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\0 & t_{22} & t_{23} \\0 & 0 & t_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1 \\c_2 \\c_3\end{bmatrix}$

Il sistema è facilmente risolvibile calcolando i valori delle variabili partendo dal basso e sostituendo, verso l’alto, i valori ottenuti

$x_3 = c_{3}/t_{33}$

$x_2 = (c_{2}-t_{23} x_3) / t_{22}$

$x_1 = (c_{1}-t_{12} x_2-t_{13} x_3) / t_{11}$

Eliminazione di Gauss-Jordan

Se si applicano le manipolazioni che trasformano A in una matrice diagonale la fase finale risulta ancora più semplice

$\displaystyle \begin{bmatrix}d_{11} & 0 & 0 \\0 & d_{22} & 0 \\0 & 0 & d_{33}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_1 \\e_2 \\e_3\end{bmatrix}$

$x_1 = e_{1}/d_{11}$

$x_2 = e_{2}/d_{22}$

$x_3 = e_{3}/d_{33}$

Se si applicano le manipolazioni che trasformano A nella matrice identità la soluzione del sistema lineare è data dal vettore dei termini noti!

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_1 \\f_2 \\f_3\end{bmatrix}$