{"id":4830,"date":"2015-06-17T22:12:43","date_gmt":"2015-06-17T20:12:43","guid":{"rendered":"http:\/\/www.valcon.it\/pp\/?p=4830"},"modified":"2026-05-30T18:33:53","modified_gmt":"2026-05-30T16:33:53","slug":"integrazione-numerica-monte-carlo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.valcon.it\/pp\/integrazione-numerica-monte-carlo\/","title":{"rendered":"Integrazione numerica con metodo Monte Carlo"},"content":{"rendered":"\n
\n
Integrazione numerica<\/a><\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

Esercizio del libro di testo<\/em><\/p>\n\n\n\n

Data la funzione \"\displaystyle 3x^2+2x+1\" calcolare l’integrale definito della funzione da <\/span>a<\/strong>=<\/span>1<\/strong> a <\/span>b<\/strong>=<\/span>5<\/strong>.<\/span><\/p>\n\n\n\n

\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Nell’intervallo [1, 5] la funzione \u00e8 continua<\/em>, crescente<\/em>.
Assume il valore massimo nell’estremo a destra, per x=5<\/strong>, <\/p>\n\n\n\n

    \n
  • MAX = f(5) = 86<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    Il grafico della funzione \u00e8 compreso nel rettangolo individuato dai punti<\/p>\n\n\n\n

      \n
    • A = (a, 0) = (1<\/strong>, 0)<\/li>\n\n\n\n
    • B = (b, 0) = (5<\/strong>, 0)<\/li>\n\n\n\n
    • C = (b, f(b)) = (5, 86<\/strong>)<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

      Siano<\/p>\n\n\n\n

        \n
      • x*<\/strong> \u2208 [a, b], ascisse casuali<\/li>\n\n\n\n
      • y*<\/strong> \u2208 [0, MAX], ordinate casuali<\/li>\n\n\n\n
      • PUNTI<\/strong> = numero di punti casuali generati<\/li>\n\n\n\n
      • punti<\/strong> = numero di punti casuali con y* <= f(x*)<\/strong><\/li>\n\n\n\n
      • AREA<\/strong> = area del rettangolo<\/li>\n\n\n\n
      • area<\/strong> = integrale definito<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

        Osserva<\/p>\n\n\n\n

          \n
        • AREA<\/strong> = (b-a)*f(b) = … = 344<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

          Come approssimare il valore di area<\/strong>?<\/p>\n\n\n\n

          Per PUNTI<\/strong> abbastanza<\/em> grande<\/p>\n\n\n\n

          \"\displaystyle \frac{\text{area}}{\text{AREA}} \approx \frac{\text{punti}}{\text{PUNTI}}\"<\/p>\n\n\n\n

          e quindi<\/p>\n\n\n\n

          \"\displaystyle \text{area}\approx \frac{\text{punti}}{\text{PUNTI}}\cdot \text{AREA}\"<\/p>\n\n\n\n

          \n\n\n\n

          Valore esatto<\/h2>\n\n\n\n

          Il valore esatto, ricavato con il calcolo integrale<\/em>, \u00e8<\/p>\n\n\n\n

          area<\/strong> = \"\displaystyle \int_a^b f(x)\ dx\" = \"\displaystyle \int_1^5 (3x^2+2x+1)\ dx\" = \"\dots\" = 152<\/strong><\/p>\n\n\n\n

          Quindi<\/p>\n\n\n\n

          \"\displaystyle \frac{\text{area}}{\text{AREA}}\" = \"\displaystyle \frac{\text{152}}{\text{344}}\" = 0,44186…<\/p>\n\n\n\n

          \n\n\n\n
          \n\n
          \n\n
          \"PUNTI\"<\/th>\"punti\"<\/th>\"\displaystyle \frac{punti}{PUNTI}\"<\/th>\"area\"<\/th><\/th>\n<\/tr><\/thead>\n
          10<\/strong><\/td>?<\/td> ?<\/td> ?<\/strong><\/td> <\/tr>\n
          100<\/strong><\/td>?<\/td> ?<\/td> ?<\/strong><\/td> <\/tr> \n
          1 000<\/strong><\/td> ?<\/td> ?<\/td> ?<\/strong><\/td> <\/tr>\n
          10 000<\/strong><\/td> ?<\/td> ?<\/td> ?<\/strong><\/td> <\/tr>\n
          100 000<\/strong><\/td> ?<\/td> ?<\/td> ?<\/strong><\/td> <\/tr>\n
          1 000 000<\/strong><\/td> ?<\/td> ?<\/td> ?<\/strong><\/td> <\/tr>\n
          <\/td><\/td>0,44186<\/td>152<\/td><\/tr>\n<\/table><\/figure>\n\n<\/form>\n