{"id":4867,"date":"2015-06-18T17:17:27","date_gmt":"2015-06-18T15:17:27","guid":{"rendered":"http:\/\/www.valcon.it\/pp\/?p=4867"},"modified":"2025-08-23T12:16:56","modified_gmt":"2025-08-23T10:16:56","slug":"moneta-di-buffon-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.valcon.it\/pp\/moneta-di-buffon-2\/","title":{"rendered":"Moneta di Buffon 2"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato L.
La probabilit\u00e0 che la moneta tocchi il bordo di una mattonella dipende dalla dimensione (raggio) della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cio\u00e8 se cade all’interno del quadrato interno.<\/p>\n\n\n\n

Siano<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. L<\/strong>: lato della piastrella<\/li>\n\n\n\n
  2. S<\/strong>: superficie della piastrella<\/li>\n\n\n\n
  3. R<\/strong>: raggio della moneta<\/li>\n\n\n\n
  4. Li<\/sub><\/strong>: lato del quadrato interno<\/li>\n\n\n\n
  5. Si<\/sub><\/strong>: superficie del quadrato interno<\/li>\n\n\n\n
  6. pi<\/sub><\/strong>: probabilit\u00e0 che il centro della moneta cada nel quadrato interno<\/li>\n\n\n\n
  7. p<\/strong>: probabilit\u00e0 che la moneta tocchi il bordo<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Osserva<\/p>\n\n\n\n

      \n
    1. \"\displaystyle S = L^2\"<\/li>\n\n\n\n
    2. \"\displaystyle 0 \leq R \leq \frac{L}{2}\"<\/li>\n\n\n\n
    3. \"\displaystyle L_i=L-2\cdot R\"<\/li>\n\n\n\n
    4. \"\displaystyle S_i = L_i^2 = (L-2\cdot R)^2\"<\/li>\n\n\n\n
    5. \"\displaystyle p_i = \frac{S_i}{S} = \frac{(L-2\cdot R)^2}{L^2}\"<\/li>\n\n\n\n
    6. \"\displaystyle p = 1-p_i\"<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      Per semplificare i calcoli: \"L = 1\"<\/p>\n\n\n\n

        \n
      1. \"S = 1\"<\/li>\n\n\n\n
      2. \"\displaystyle 0 \leq R \leq \frac{1}{2}\"<\/li>\n\n\n\n
      3. \"\displaystyle L_i = 1-2\cdot R\"<\/li>\n\n\n\n
      4. \"\displaystyle S_i = (1-2\cdot R)^2\"<\/li>\n\n\n\n
      5. \"\displaystyle p_i = (1-2\cdot R)^2\"<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

        Teoricamente, la probabilit\u00e0 che la moneta tocchi il bordo della piastrella nei 3 casi in figura \u00e8<\/p>\n\n\n\n

        R<\/th>Li<\/sub><\/th>Si<\/sub><\/th>p<\/th><\/th><\/tr><\/thead>
        \"\displaystyle \frac{1}{8}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{6}{8}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{36}{64}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{28}{64}\"<\/td>= 0,4375<\/strong><\/td><\/tr>
        \"\displaystyle \frac{2}{8}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{4}{8}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{16}{64}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{48}{64}\"<\/td>= 0,7500<\/strong><\/td><\/tr>
        \"\displaystyle \frac{3}{8}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{2}{8}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{4}{64}\"<\/td>\"\displaystyle \frac{60}{64}\"<\/td>= 0,9375<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

        Naturalmente<\/p>\n\n\n\n

          \n
        • Se \"R \rightarrow 0\" allora \"p \rightarrow 0\"<\/li>\n\n\n\n
        • Se \"\displaystyle R \rightarrow \frac{1}{2}\" allora \"p \rightarrow 1\"<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
          \n\n\n\n

          Metodo Monte Carlo<\/h2>\n\n\n\n

          Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi<\/p>\n\n\n\n

            \n
          • il centro della mattonella: \"(0,0)\"<\/li>\n\n\n\n
          • le coordinate casuali del centro della moneta: \"(x,y)\"<\/li>\n\n\n\n
          • \"\displaystyle -\frac{1}{2}\leq x \leq +\frac{1}{2}\"<\/li>\n\n\n\n
          • \"\displaystyle -\frac{1}{2}\leq y \leq +\frac{1}{2}\"<\/li>\n\n\n\n
          • la moneta tocca il bordo di una mattonella se \"\displaystyle |x|\geq \frac{1}{2}-R\" oppure \"\displaystyle |y|\geq \frac{1}{2}-R\"<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

            Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della mattonella e confrontiamo le frequenze relative con le probabilit\u00e0 teoriche<\/p>\n\n\n\n