PROBLEMI « Programmare con Pascal

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Decrescita programmata

Posted on 12/02/2015 by admin

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Matematica Senza Frontiere – 10/2/2015 n. 2

Annamaria si diverte con le successioni numeriche.
Sceglie un numero intero naturale come primo numero della successione; calcola il successivo moltiplicando tra loro le cifre del numero.
Procede analogamente con il numero ottenuto finché non ottiene un numero con una sola cifra.

Ad esempio, iniziando da 68, ottiene la successione di quattro numeri 68, 48, 32, 6.

Quale numero intero naturale inferiore a 100 comporta, seguendo il procedimento descritto, la successione più lunga?

Vedi la discussione.

Il programma produce tutte le serie per i numeri da 1 a 99

Uses Crt;

Var i: Integer;

Procedure NUMERO(num: Integer);

Var

dd, uu: Byte;

Begin

Write(num, ': ');

While(num >= 10) Do

Begin

dd :=num Div 10;

uu :=num Mod 10;

num:=dd*uu;

Write(num, ' ');

End;

Begin

For i:=1 To 50 Do

Begin

GotoXY(1,i);

NUMERO(i)

End;

For i:=51 To 99 Do

Begin

GotoXY(15,i-50);

NUMERO(i)

End;

GotoXY(1,52);

Readln;

End.

msf_2015_02_p

Aritmetica: potenza

Posted on 01/01/2015 by admin

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Iterativa

M^N = Pot(M, N) = M*M*...*M (N fattori)

Function PotIter(M, N: Integer): LongInt;

Var

I, Risp: LongInt;

Begin

Risp:=1;

For I:=1 to N Do

Risp:=Risp*M;

PotIter:=Risp;

End;

Ricorsiva

M⁰ = 1, per N = 0
M^N = M*M^N-1, altrimenti

oppure

Pot(M, N) = 1, per N = 0
Pot(M, N) = M*Pot(M, N-1), altrimenti

Function PotRic(M, N: Integer): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

PotRic:=1

Else

PotRic:=M*PotRic(M, N-1);

End;

Aritmetica: prodotto

Posted on 01/01/2015 by admin

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Iterativo

M*N = 0, per N = 0
M*N = M+M+...+M (N addendi), altrimenti

Function ProdIter(M, N: Integer): LongInt;

Var

I : Integer;

Risp: LongInt;

Begin

Risp:=0;

For I:=1 To N Do

Risp:=Risp+M;

ProdIter:=Risp;

End;

Oppure

M*N = 0, per N = 0
M*N = INCREMENTA^N(0, m), altrimenti

Function ProdIter(M, N: Integer): LongInt;

Var

I : Integer;

Risp: LongInt;

Begin

Risp:=0;

For I:=1 To N Do

Inc(Risp, M);

ProdIter:=Risp;

End;

Oppure

Prod(M, N) = 0, per N = 0
Prod(M, N) = Prod(M, N-1)+M, altrimenti

Esempio

M=5, N=3

Prod(5, 3) = Prod(5, 3-1)+5 = Prod(5, 2)+5 = 10+5 = 15
Prod(5, 2) = Prod(5, 2-1)+5 = Prod(5, 1)+5 = 5+5 = 10
Prod(5, 1) = Prod(5, 1-1)+5 = Prod(5, 0)+5 = 0+5 = 5
Prod(5, 0) = 0

Function ProdRic(M, N: Integer): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

ProdRic:=0

Else

ProdRic:=ProdRic(M, N-1)+M;

End;

Aritmetica: somma

Posted on 01/01/2015 by admin

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Iterativa

Osserva le diverse versioni

M+N = M+1 ... +1 (N volte)
M+N = ((...((M+1)+1)...)+1)
Somma(M, N) = Successivo(Successivo(...Successivo(M)...))
Somma(M, N) = Successivo^N(M)

Function SomIter(M, N: LongInt): LongInt;

Var

I: LongInt;

Begin

For I:=1 To N Do

Inc(M); { M:=M+1; } { M:=Succ(M); }

SomIter:=M;

End;

apri M dita della mano destra
apri N dita della mano sinistra
mentre la mano sinistra non è chiusa esegui
inizio
apri un dito a destra
chiudi un dito a sinistra
fine
la risposta è nella mano destra

Function SomIter(M, N: LongInt): LongInt;

Begin

While(N > 0) Do

Begin

Inc(M);

Dec(N);

End;

SomIter:=M

End;

Function SomIter(M, N: LongInt): LongInt;

Var

I: LongInt;

Begin

For I:=N DownTo 1 Do

Inc(M);

SomIter:=M;

End;

Ricorsiva

Somma(M, N) = M, per N = 0
Somma(M, N) = 1+Somma(M, N-1), altrimenti

Esempio

M=5, N=3

Somma(5, 3) = 1+Somma(5, 2) = 1+7 = 8
Somma(5, 2) = 1+Somma(5, 1) = 1+6 = 7
Somma(5, 1) = 1+Somma(5, 0) = 1+5 = 6
Somma(5, 0) = 5

Function SomRic(M, N: LongInt): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

SomRic:=M

Else

SomRic:=SomRic(M, N-1)+1;

End;

Ricorsiva

Somma(M, N) = M, per N = 0
Somma(M, N) = Successivo(Somma(M, Precedente(N))), altrimenti

Esempio

M=5, N=3

Somma(5, 3) = Successivo(Somma(5, Precedente(3)) = Successivo(Somma(5, 2)) = Successivo(7) = 8
Somma(5, 2) = Successivo(Somma(5, Precedente(2)) = Successivo(Somma(5, 1)) = Successivo(6) = 7
Somma(5, 1) = Successivo(Somma(5, Precedente(1)) = Successivo(Somma(5, 0)) = Successivo(5) = 6
Somma(5, 0) = 5

Function SomRic(M, N: LongInt): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

SomRic:=M

Else

SomRic:=SomRic(M, N-1)+1;

End;

Function SomRic(M, N: LongInt): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

SomRic:=M

Else

SomRic:=Succ(SomRic(M, Pred(N)));

End;

Oppure

Somma(M, N) = M, per N = 0
Somma(M, N) = Somma(M+1, N-1), altrimenti

Function SomRic(M, N: LongInt): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

SomRic:=M

Else

SomRic:=SomRic(M+1, N-1);

End;

Oppure

Somma(M, N) = M, per N = 0
Somma(M, N) = Somma(Successivo(M), Precedente(N)), altrimenti

Esempio

M=5, N=3

Somma(5, 3) = Somma(Successivo(5), Precedente(3)) = Somma(6, 2) = 8
Somma(6, 2) = Somma(Successivo(6), Precedente(2)) = Somma(7, 1) = 8
Somma(7, 1) = Somma(Successivo(7), Precedente(1)) = Somma(8, 0) = 8
Somma(8, 0) = 8

Function SomRic(M, N: LongInt): LongInt;

Begin

If(N = 0) Then

SomRic:=M

Else

SomRic:=SomRic(Succ(M), Pred(N));

End;

Algoritmo di Euclide

Posted on 01/01/2015 by admin

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L’algoritmo di Euclide permette di calcolare il massimo comun divisore, MCD, tra due numeri interi. Vedi Wikipedia: Algoritmo di Euclide.

Algoritmo

Dati due numeri naturali a e b

se b è zero allora la risposta è a
altrimenti si divide a per b e si assegna ad r il resto della divisione
- se r=0 allora la risposta è b
- altrimenti a ⇐ b e b ⇐ r e si ripete nuovamente la divisione.

Esempi

Con a=70, b=15

a	b	r
70	15	70=4*15 + 10
15	10	15=1*10 + 5
10	5	10=25 + 0, STOP*

MCD(70, 15)=5.

Con a=15, b=70

a	b	r
15	70	15=0*70 + 15
70	15	…

MCD(15, 70)=5.

Con a=71, b=15

a	b	r
71	15	71=4*15 + 11
15	11	15=1*11 + 4
11	4	11=2*4 + 3
4	3	4=1*3 + 1
3	1	3=31 + 0, STOP*

MCD(71, 15)=1.

euclide_1 L’algoritmo precedente può essere trasformato in un programma di alto livello soltanto utilizzando l’istruzione GOTO.

Con qualche modifica (le due assegnazioni vengono eseguite comunque) può essere adattato alla esigenze della programmazione strutturata.

Function euclide(a, b: Integer): Integer;

Var

r: Integer;

Begin

If(b = 0) Then

euclide:=a

Else

Begin

Repeat

r:=a Mod b;

a:=b;

b:=r;

Until(r = 0);

euclide:=a;

End;

euclide Con qualche altra modifica si semplifica ulteriormente il codice necessario

Dati due numeri naturali a e b

se b è diverso da 0

r ⇐ resto della divisione intera tra a e b
a ⇐ b
b ⇐ r
ripeti l’operazione

altrimenti

la risposta è a

Esempio

Con a=70, b=15

a	b	r
70	15	70=4*15 + 10
15	10	15=1*10 + 5
10	5	10=2*5 + 0
5	0	STOP

MCD(70, 15)=5.

Function euclide(a, b: Integer): Integer;

Var

r: Integer;

Begin

While(b <> 0) Then

Begin

r:=a Mod b;

a:=b;

b:=r;

End;

euclide:=a;

End;

Versione ricorsiva

Con a=70, b=15

MCD(70, 15) = MCD(15, 70 Mod 15)
= MCD(15, 10) = MCD(10, 15 Mod 10)
= MCD(10, 5) = MCD(5, 10 Mod 5)
= MCD(5, 0) = 5

Function euclide(a, b: Integer): Integer;

Begin

If(b <> 0) Then

euclide:=euclide(b, a Mod b)

Else

euclide:=a;

End;

oppure…

Function euclide(a, b: Integer): Integer;

Begin

If(b = 0) Then

euclide:=a

Else

euclide:=euclide(b, a Mod b);

End;

La torre di Hanoi

Posted on 01/01/2015 by admin

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Il problema

Nel tempio di Brahma si trova una piattaforma di ottone con tre perni di diamanti.
Sul primo di tali perni sono infilati 64 dischi d’oro, di dimensioni decrescenti, che formano una torre.
Si deve portare la torre sul terzo perno, spostando un solo disco alla volta e in modo che mai un disco di diametro maggiore si trovi sopra un disco di diametro minore.
Per risolvere la questione si può utilizzare il secondo perno come perno di servizio.

Quando i monaci termineranno l’opera il mondo sarà finito!

Analisi

Siano D₁, D₂, …, D_n le etichette dei dischi di una torre di Hanoi con n dischi.

Il problema con un solo disco è banale

il disco è sinistra
sposta il disco D₁ dalla 1° alla 3° torre

Se i dischi sono 2 le mosse sono 3

i dischi sono a sinistra
sposta il disco D₁ dalla 1° alla 2° torre
sposta il disco D₂ dalla 1° alla 3° torre
sposta il disco D₁ dalla 2° alla 3° torre

Se i dischi sono 3 le mosse sono 7

i dischi sono a sinistra
sposta il disco D₁ dalla 1° alla 3° torre
sposta il disco D₂ dalla 1° alla 2° torre
sposta il disco D₁ dalla 3° alla 2° torre
sposta il disco D₃ dalla 1° alla 3° torre
sposta il disco D₁ dalla 2° alla 1° torre
sposta il disco D₂ dalla 2° alla 3° torre
sposta il disco D₁ dalla 1° alla 3° torre

…

Se i dischi sono 4, 5, … si può riconoscere lo schema risolutivo

i dischi sono a sinistra
sposta i dischi D₁…D_n-1 dalla 1° alla 2° torre (usando la 3° come appoggio) in modo da liberare D_n
sposta il disco D_n dalla 1° alla 3° torre
sposta i dischi D₁…D_n-1 dalla 2° alla 3° torre (usando la 1° come appoggio) sopra D_n

Algoritmo

Ad ogni passo è sufficiente specificare

il numero di dischi coinvolti, perché si parla sempre dei dischi in cima a una torre
il nome della torre di origine
il nome della torre di appoggio
il nome della torre di destinazione

allora l’algoritmo risolutivo per il problema

Hanoi(n, origine, appoggio, destinazione)

diventa

Hanoi(n-1, origine , arrivo , appoggio )
Hanoi( 1, origine , appoggio, destinazione)
Hanoi(n-1, appoggio, origine , destinazione)

con l’accortezza che nel caso di torre con un solo disco è sufficiente comunicare di spostare il disco dalla torre origine alla torre destinazione.

Procedure Hanoi(n, origine, appoggio, destinazione: Byte);

Begin

If(n = 1) Then

WriteLn(origine, ' - ', destinazione)

Else

Begin

Hanoi(n-1, origine , destinazione, appoggio );

Hanoi( 1, origine , appoggio , destinazione);

Hanoi(n-1, appoggio, origine , destinazione);

End;

Var num: Byte:

Begin

Write('Numero dischi? ');

Readln(num);

Hanoi(num, 1, 2, 3);

Readln;

End.

Dopo aver analizzato il problema decidiamo che il tempo di esecuzione dell’algoritmo è proporzionale al numero di spostamenti di dischi

T(1) = 1 T(2) = T(1)+T(1)+T(1) = 1+1+1 = 3 T(3) = T(2)+T(1)+T(2) = 3+1+3 = 7 T(4) = T(3)+T(1)+T(3) = 7+1+7 = 15 ... T(n) = T(n-1)+T(1)+T(n-1) = 2*T(n-1)+1

…

Numericamente si tratta della successione

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...

cioè

2¹-1, 2²-1, 2³-1, 2⁴-1, 2⁵-1, 2⁶-1, 2⁷-1, ...

quindi

T(n) = 2ⁿ-1

I tempi necessari per risolvere il problema sono

n	T(n) = 2ⁿ-1	1 Hz (uomo)	1 GHz (PC)
1	2¹-1 = 1	un secondo	10^-9 s
2	2²-1 = 3	3 secondi	3*10^-9 s
10	2¹⁰-1 = 1023	~17 minuti	~10^-6 s
20	2²⁰-1 = 1.048.575	~12 giorni	~10^-3 s
30	2³⁰-1 = 1.073.741.823	~34 anni	~1 s
64	2⁶⁴-1 = 18.446.744.073.709.551.615	~5*10¹¹ anni	~500 anni

Conclusioni

L’algoritmo per il problema della torre di Hanoi ha complessità in tempo asintotica esponenziale, O(2ⁿ)
Non può esistere un algoritmo con complessità minore
Il problema della torre di Hanoi è un problema intrinsecamente esponenziale
Il problema della torre di Hanoi è un problema intrattabile!

Contare i caratteri

Posted on 01/01/2015 by admin

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I problemi con i testi (parole, frasi) sono diversi da quelli con i numeri…

Quanti caratteri in un testo?
Quante vocali, consonanti?
Quante maiuscole, minuscole?
Quante A, B, C, …, Z?

Per contare quante volte compare ciascun lettera puoi cominciare così…

Var

CONTATORI: Array['A'..'Z'] of Word; (* fino a ~65000*)

frase : String;

Procedure Inizializza;

Var i: Char;

Begin

For i:='A' To 'Z' Do

CONTATORI[i]:=0;

End;

Procedure Visualizza;

Var i: Char;

Begin

For i:='A' To 'Z' Do

Writeln(i, ' ', CONTATORI[i]);

End;

Procedure Conta;

Var i: Byte;

C: Char;

Begin

For i:=1 To Length(frase) Do

Begin

C:=frase[i];

Inc(CONTATORI[C]);

End;

Begin

Writeln('Inserisci una frase a piacere');

Readln(frase);

Inizializza;

Conta;

Visualizza;

Readln;

End.

Note

Il codice precedente conta le lettere maiuscole
Se la frase in input contiene caratteri diversi ci sarà un errore in esecuzione
Si potrebbero convertire le lettere minuscole in lettere maiuscole, con Upcase(), e poi conteggiarle.

1

C:=UpCase(frase[i]);
Si potrebbero contare tutti i caratteri della tabella ASCII dal codice #0 al codice #255

1

Type CONTATORI: Array[#0..#255] of Word;

Quick sort

Posted on 31/12/2014 by admin

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Un algoritmo di ordinamento

molto complicato: ricorsivo e difficile da ricordare
ma ottimo: è quasi sempre molto veloce…

Procedure QUICKSORT(var V: Vettore; Inf, Sup: Integer);

Var

i, j: Integer;

Perno: Elemento;

Begin1

If(Inf < Sup) Then

Begin

i:=Inf;

j:=Sup;

Perno:=V[(Inf+Sup) DIV 2];

Repeat

While(V[i] < Perno) Do

Inc(i);

While(Perno < V[j]) Do

Dec(j);

If(i <= j) then

Begin

SCAMBIA(V[i], V[j]);

Inc(i);

Dec(j);

End;

Until(I > J);

QUICKSORT(V, Inf, j);

QUICKSORT(V, i, Sup);

End;

Merge Sort

Posted on 31/12/2014 by admin

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Algoritmo intuitivo e ottimo.
Utilizza l’algoritmo di fusione di sottosequenze ordinate.

Procedure MERGESORT(Var V: Vettore; Inf, Sup: Integer);

Var

Medio: Integer;

Begin

If(Inf < Sup) Then

Begin

Medio:=(Inf+Sup) Div 2;

MERGESORT(V, Inf , Medio);

MERGESORT(V, Medio+1, Sup );

Merge(V, Inf, Medio, Sup);

End;

...

MERGESORT(V, 1, N);

...

La chiamata chiede di ordinare l’array dal primo, 1, all’ultimo, N, elemento.
A ogni chiamata, dopo aver calcolato Medio, si effettuano due chiamate ricorsive, da Inf a Medio e da Medio+1 a Sup.

In pratica le chiamate ricorsive scendono fino al livello di array con un solo elemento.
Al ritorno di ogni coppia di chiamate si effettua la fusione, merge, delle due parti ordinate (l’array con un solo elemento è già ordinato…).

Esempio 1

Sia v={1, 3, 7, 4, 15, 0, 9, 10}

Le chiamate ricorsive sugli indici da 1 a 8 e con i valori medi successivi

(1+8)/2 = 4
(1+4)/2 = 2
(5+8)/2 = 6
(1+2)/2 = 1
(3+4)/2 = 3
(5+6)/2 = 5
(7+8)/2 = 7

hanno l’effetto di raggiungere i singoli elementi.

Con i valori effettivi, l’array dopo le chiamate ricorsive diventa una sequenza di 8 array con un elemento

ms11

Al ritorno di ogni due chiamate ricorsive avviene la fusione di due array ordinati…

ms12

Esempio 2

Sia v={1, 3, 7, 4, 15, 0, 9, 10, 8, 2}

Le chiamate ricorsive sugli indici da 1 a 10 raggiungono i singoli elementi con 2 passaggi in più…

(1+10)/2 = 5
(1+5)/2 = 3
(6+10)/2 = 8
(1+3)/2 = 2
(4+5)/2 = 4
(6+8)/2 = 7
(9+10)/2 = 9
(1+2)/2 = 1
(6+7)/2 = 6.

Considerando i valori effettivi dell’array e l’esecuzione di tutti i passi…

Selection Sort

Posted on 31/12/2014 by admin

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Algoritmo intuitivo e più veloce del bubble sort.

Si può individuare il valore minimo in un array V e scambiarlo con il valore alla prima posizione.

PosMin:=1;

For j:=2 To N

If(V[j] < V[posMin]) Then

PosMin=j;

SCAMBIA(V, 1, PosMin)

In questo modo l’elemento alla posizione 1 occupa definitivamente il posto che gli spetta…

Ripetendo la stessa operazione con i sottovettori

da 2 a N-1
da 3 a N-1
…
da N-1 a N

andranno al loro posto gli elementi alla posizione 2, 3, …, N-1.
L’elemento alla posizione N occuperà l’unico posto rimasto libero per l’elemento più grande…

Procedure SELESORT(Var V: Vettore; N: Integer);

Var

PosMin, i, j: Integer;

Begin

For i:=1 To N-1 Do

Begin

PosMin:=i;

For j:=i+1 To N Do

If(V[j] < V[PosMin]) Then

PosMin:=j;

SCAMBIA(V[i], V[PosMin]);

End;

Osserva

ss1

Miglioramento

Con un If(...) Then... aggiuntivo si può evitare di eseguire inutilmente la SCAMBIA() quando un elemento occupa già il posto giusto

Procedure SELESORT(var V: Vettore; N: Integer);

Var

PosMin, i, j: Integer;

Begin

For i:=1 To N-1 Do

Begin

PosMin:=i;

For j:=i+1 To N Do

If(V[j] < V[PosMin]) Then

PosMin:=j;

If(PosMin <> i) Then

SCAMBIA(V[i], V[PosMin]);

End;