Analisi di un dado – Programmare con Python

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Le sei facce di un dado sono equiprobabili

$\displaystyle p(i) = \frac{1}{6}, i=1,...,6$

Sia X la variabile casuale “punti realizzati lanciando un dado”, allora

$\displaystyle M(X) = \sum_{i=1}^6 p_i\cdot x_i$

$\displaystyle M(X^2) = \sum_{i=1}^6 p_i\cdot x_i^2$

$\displaystyle var(X) = M(X^2) - M(X)^2$

$\displaystyle \delta(X) = \sum_{i=1}^6 p_i\cdot(m - x_i)$

$\displaystyle dev(X) = \sum_{i=1}^6 (m - x_i)^2$

$\displaystyle var(X) = \sum_{i=1}^6 p_i\cdot(m - x_i)^2$

$\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{var(X)}$

$\displaystyle \sigma^*(X) = \frac { \sigma(X) } { M(X) }$

Il modulo fractions permette di operare con le frazioni in modo simbolico, cioè sono trattate formalmente fino alla fine dei calcoli.

fractions

import fractions # Fractions

import math # sqrt()

X = list(range(1, 7)) # Esiti : 1, 2, 3, ...

P = 6*[fractions.Fraction(1,6)] # probabilità: 1/6, 1/6, 1/6, ...

print(" x | p(x)")

print("---|------")

for x, p in zip(X, P):

print(" %i | %s" %(x, p))

Risultato

x | p(x)

---|------

1 | 1/6

2 | 1/6

3 | 1/6

4 | 1/6

5 | 1/6

6 | 1/6

Con i calcoli successivi sarà possibile leggere i risultati come frazioni e come numeri decimali

media = 0

media_quadrati = 0

for p, x in zip(P, X):

media += p*x

media_quadrati += p*x**2

varianza_1 = media_quadrati-media**2

print("Media = %5s %10.6f" %(media , media ))

print("Media dei quadrati = %5s %10.6f" %(media_quadrati, media_quadrati))

print("Varianza (1) = %5s %10.6f" %(varianza_1 , varianza_1 ))

#-------------------------------------------------------------------------

scarto_medio_assoluto = 0

devianza = 0

varianza_2 = 0

for p, x in zip(P, X):

scarto = media-x

scarto_medio_assoluto += p*abs(scarto)

devianza += scarto**2

varianza_2 += p*scarto**2

print("Scarto medio assoluto = %5s %10.6f" %(scarto_medio_assoluto, scarto_medio_assoluto))

print("Devianza = %5s %10.6f" %(devianza , devianza ))

print("Varianza (2) = %5s %10.6f" %(varianza_2 , varianza_2 ))

#-------------------------------------------------------------------------

deviazione_standard = math.sqrt(varianza_2)

deviazione_standard_relativa = deviazione_standard/abs(media)

print("Deviazione standard =", deviazione_standard )

print("Deviazione standard rel. =", deviazione_standard_relativa)

Per ottenere

Media = 7/2 3.500000

Media dei quadrati = 91/6 15.166667

Varianza (1) = 35/12 2.916667

Scarto medio assoluto = 3/2 1.500000

Devianza = 35/2 17.500000

Varianza (2) = 35/12 2.916667

Deviazione standard = 1.707825127659933

Deviazione standard rel. = 0.48795003647426655

Osserva i risultati espressi come frazioni

$\displaystyle M(X) = \frac{7}{2}$

$\displaystyle M(X^2) = \frac{91}{6}$

$\displaystyle \delta(X) = \frac{3}{2}$

$\displaystyle dev(X) = \frac{35}{2}$

$\displaystyle var(X) = \frac{35}{12}$

Purtroppo… la deviazione standard richiede la radice quadrata che annulla l’intervanto di fractions.

SymPy

Il modulo sympy permette di operare in modo simbolico anche con la radice quadrata e quindi arrivare fino alla fine

import sympy as sp # Rational(), sqrt()

X = list(range(1, 7)) # Esiti

P = 6*[sp.Rational(1, 6)] # Probabilità

print(" x | p(x)")

print("---|------")

for x, p in zip(X, P):

print(" %i | %s" %(x, p))

media = 0

media_quadrati = 0

for p, x in zip(P, X):

media += p*x

media_quadrati += p*x**2

varianza_1 = media_quadrati-media**2

print("Media = %5s %10.6f" %(media , media ))

print("Media dei quadrati = %5s %10.6f" %(media_quadrati, media_quadrati))

print("Varianza (1) = %5s %10.6f" %(varianza_1 , varianza_1 ))

scarto_medio_assoluto = 0

devianza = 0

varianza_2 = 0

for p, x in zip(P, X):

scarto = (media-x)

scarto_medio_assoluto += p*abs(scarto)

devianza += scarto**2

varianza_2 += p*scarto**2

print("Scarto medio assoluto = %5s %10.6f" %(scarto_medio_assoluto, scarto_medio_assoluto))

print("Devianza = %5s %10.6f" %(devianza , devianza ))

print("Varianza (2) = %5s %10.6f" %(varianza_2 , varianza_2 ))

deviazione_standard = sp.sqrt(varianza_2)

deviazione_standard_relativa = deviazione_standard/abs(media)

print("Deviazione standard = %12s %10.6f" %(deviazione_standard , deviazione_standard ))

print("Deviazione standard rel. = %12s %10.6f" %(deviazione_standard_relativa, deviazione_standard_relativa))

Per ottenere

x | p(x)

---|------

1 | 1/6

2 | 1/6

3 | 1/6

4 | 1/6

5 | 1/6

6 | 1/6

Media = 7/2 3.500000

Media dei quadrati = 91/6 15.166667

Varianza (1) = 35/12 2.916667

Scarto medio assoluto = 3/2 1.500000

Devianza = 35/2 17.500000

Varianza (2) = 35/12 2.916667

Deviazione standard = sqrt(105)/6 1.707825

Deviazione standard rel. = sqrt(105)/21 0.487950

E quindi…

$\displaystyle M(X) = \frac{7}{2}$

$\displaystyle M(X^2) = \frac{91}{6}$

$\displaystyle \delta(X) = \frac{3}{2}$

$\displaystyle dev(X) = \frac{35}{2}$

$\displaystyle var(X) = \frac{35}{12}$

$\displaystyle \sigma(X) = \frac{\sqrt{105}}{6}$

$\displaystyle \sigma^*(X) = \frac{\sqrt{105}}{21}$

Osserva che le frazioni sono razionalizzate.