math – Programmare con Python

Analisi di due dadi

25/07/202209/07/2022 di admin

Vedi la discussione teorica Utilizza i moduli per fractions, mantenere formali i risultati delle operazioni con le frazioni matplotlib, rappresentare graficamente la distribuzione delle probabilità math, radice quadrata

from fractions import Fraction as F # Fraction()

import matplotlib.pyplot as plt # plot()

import math # sqrt()

N = 13*[0] # Conteggio degli esiti del lancio di due dadi

for d1 in range(1, 7):

for d2 in range(1,7):

dadi=d1+d2

N[dadi] += 1

X = list(range(2, 13))

P = [] # Probabilità: frequenze assolute

for x in X:

p=F(N[x], 36)

P.append(p)

plt.bar(X, P) # Grafico a barre verticali

plt.grid()

plt.show()

print(" x | p(x)") # Tabella

print("----|------")

for x, p in zip(X, P):

print(" %2i | %s" %(x, p))

Risultato

x | p(x)

----|------

2 | 1/36

3 | 1/18

4 | 1/12

5 | 1/9

6 | 5/36

7 | 1/6

8 | 5/36

9 | 1/9

10 | 1/12

11 | 1/18

12 | 1/36

Il resto del codice esegue i calcoli

media = 0

media_quadrati = 0

for p, x in zip(P, X):

media += p*x

media_quadrati += p*x**2

varianza_1 = media_quadrati-media**2

print("Media = %5s %10.6f" %(media , media ))

print("Media dei quadrati = %5s %10.6f" %(media_quadrati, media_quadrati))

print("Varianza (1) = %5s %10.6f" %(varianza_1 , varianza_1 ))

scarto_medio_assoluto = 0

devianza = 0

varianza_2 = 0

for p, x in zip(P, X):

scarto_medio_assoluto += p*abs(media-x)

devianza += (media-x)**2

varianza_2 += p*(media-x)**2

print("Scarto medio assoluto = %5s %10.6f" %(scarto_medio_assoluto, scarto_medio_assoluto))

print("Devianza = %5s %10.6f" %(devianza , devianza ))

print("Varianza (2) = %5s %10.6f" %(varianza_2 , varianza_2 ))

deviazione_standard = math.sqrt(varianza_2)

deviazione_standard_relativa = deviazione_standard/abs(media)

print("Deviazione standard =", deviazione_standard )

print("Deviazione standard rel. =", deviazione_standard_relativa)

Risultati

Media = 7 7.000000

Media dei quadrati = 329/6 54.833333

Varianza (1) = 35/6 5.833333

Scarto medio assoluto = 35/18 1.944444

Devianza = 110 110.000000

Varianza (2) = 35/6 5.833333

Deviazione standard = 2.41522945769824

Deviazione standard rel. = 0.3450327796711771

Riepilogo collections SymPy I moduli … permettono di … collections, conteggiare gli esiti di … Leggi tutto

Analisi di tre dadi

09/07/202209/07/2022 di admin

Vedi la discussione teorica la codifica per due dadi Modifica le 2 righe di codice iniziali

...

DADI = [d1+d2+d3 for d1 in DADO for d2 in DADO for d3 in DADO] # Lancio di 3 dadi

...

P = [sp.Rational(count, 216) for count in COUNT.values()] # Probabilità = Frequenze assolute

...

Il resto del codice rimane lo stesso

import collections # Counter()

import matplotlib.pyplot as plt

import sympy as sp # Rational(), sqrt()

DADO = list(range(1, 7))

DADI = [d1+d2+d3 for d1 in DADO for d2 in DADO for d3 in DADO]

COUNT = collections.Counter(DADI);

X = COUNT.keys()

P = [sp.Rational(count, 216) for count in COUNT.values()]

plt.bar(X, P)

plt.grid()

plt.show()

print(" x | p(x)")

print("----|------")

for x, p in zip(X, P):

print(" %2i | %s" %(x, p))

#-------------------------------------------------------------------------------

media = 0

media_quadrati = 0

for p, x in zip(P, X):

media += p*x

media_quadrati += p*x**2

varianza_1 = media_quadrati-media**2

print("Media = %5s %10.6f" %(media , media ))

print("Media dei quadrati = %5s %10.6f" %(media_quadrati, media_quadrati))

print("Varianza (1) = %5s %10.6f" %(varianza_1 , varianza_1 ))

#-------------------------------------------------------------------------------

scarto_medio_assoluto = 0

devianza = 0

varianza_2 = 0

for p, x in zip(P, X):

scarto_medio_assoluto += p*abs(media-x)

devianza += (media-x)**2

varianza_2 += p*(media-x)**2

print("Scarto medio assoluto = %5s %10.6f" %(scarto_medio_assoluto, scarto_medio_assoluto))

print("Devianza = %5s %10.6f" %(devianza , devianza ))

print("Varianza (2) = %5s %10.6f" %(varianza_2 , varianza_2 ))

#-------------------------------------------------------------------------------

deviazione_standard = sp.sqrt(varianza_2)

deviazione_standard_relativa = deviazione_standard/abs(media)

print("Deviazione standard = %11s %10.6f" %(deviazione_standard , deviazione_standard ))

print("Deviazione standard rel. = %11s %10.6f" %(deviazione_standard_relativa, deviazione_standard_relativa))

Per ottenere

x | p(x)

----|------

3 | 1/216

4 | 1/72

5 | 1/36

6 | 5/108

7 | 5/72

8 | 7/72

9 | 25/216

10 | 1/8

11 | 1/8

12 | 25/216

13 | 7/72

14 | 5/72

15 | 5/108

16 | 1/36

17 | 1/72

18 | 1/216

Media = 21/2 10.500000

Media dei quadrati = 119 119.000000

Varianza (1) = 35/4 8.750000

Scarto medio assoluto = 29/12 2.416667

Devianza = 340 340.000000

Varianza (2) = 35/4 8.750000

Deviazione standard = sqrt(35)/2 2.958040

Deviazione standard rel. = sqrt(35)/21 0.281718

Riepilogo

Analisi di un dado

12/07/202208/07/2022 di admin

Vedi la discussione Le sei facce di un dado sono equiprobabili Sia X la variabile casuale “punti realizzati lanciando un dado”, allora Il modulo fractions permette di operare con le frazioni in modo simbolico, cioè sono trattate formalmente fino alla fine dei calcoli. fractions

import fractions # Fractions

import math # sqrt()

X = list(range(1, 7)) # Esiti : 1, 2, 3, ...

P = 6*[fractions.Fraction(1,6)] # probabilità: 1/6, 1/6, 1/6, ...

print(" x | p(x)")

print("---|------")

for x, p in zip(X, P):

print(" %i | %s" %(x, p))

Risultato

x | p(x)

---|------

1 | 1/6

2 | 1/6

3 | 1/6

4 | 1/6

5 | 1/6

6 | 1/6

Con i calcoli successivi sarà possibile leggere i … Leggi tutto

Pi greco con metodo di esaustione 2

01/07/2022 di admin

Vedi la discussione

import math

QUANTE = 10

r = 1 # Per semplificare...

n = 4 # Il primo poligono è un QUADRATO

l = math.sqrt(2) # Il lato del 1° poligono è ...

p = n*l # n*lato

pi = p/(2*r) # Perimetro/Diametro

a = math.sqrt(r*r-(l/2)**2) # "Ipotenusa..."

d = r-a # ...

print(pi) # 1° approssimazione

for passo in range(1,QUANTE):

n = 2*n # Il numero di lati raddoppia

l = math.sqrt((l/2)**2+d**2) # "Ipotenusa..."

p = n*l # ...

pi = p/(2*r) # ...

a = math.sqrt(r*r-(l/2)**2) # ...

d = r-a # ...

print(pi) # Approssimazioni successive

Si ottiene la sequenza 2.8284271247461903 3.0614674589207187 3.121445152258053 3.1365484905459398 3.1403311569547534 3.1412772509327733 3.1415138011443013 3.141572940367092 3.14158772527716 3.1415914215112 SymPy Con la stessa tecnica utilizzata partendo da un esagono

import math

import sympy as sp # Modulo SymPy

QUANTE = 5 # SCEGLI QUANTE APPROSSIMAZIONI

sp.init_printing() # Abilita pprint()

r = sp.symbols('r') # Raggio della circonferenza

n = sp.symbols('n') # Numero di lati del poligono

l = sp.symbols('l') # Lato del poligono

p = sp.symbols('p') # Perimetro del poligono

pi = sp.symbols('pi') # Approssimazione di pi greco

a = sp.symbols('a') # Apotema del poligono

d = sp.symbols('d') # Differenza tra il raggio e l'apotema

n = 4 # Il primo poligono è un quadrato

l = sp.sqrt(2)*r # Il lato è uguale a ...

p = n*l # n*lato

pi = p/(2*r) # Perimetro/Diametro

a = sp.sqrt(r*r-(l/2)**2) # "Ipotenusa..."

d = r-a # ...

PIGRECO = sp.simplify(pi.subs(r, 1)) # Sostituisce e semplifica

sp.pprint(PIGRECO) # Stampa la formula in forma comprensibile

print(sp.latex(PIGRECO)) # in LaTeX

print(PIGRECO.evalf(20)) # 20 cifre dopo la virgola

for passo in range(1,QUANTE):

n = 2*n # Il numero di lati raddoppia

l = sp.sqrt((l/2)**2+d**2) # "Ipotenusa..."

p = n*l # ...

pi = p/(2*r) # ...

a = sp.sqrt(r*r-(l/2)**2) # ...

d = r-a # ...

PIGRECO = sp.simplify(pi.subs(r, 1))

sp.pprint(PIGRECO)

print(sp.latex(PIGRECO))

print(PIGRECO.evalf(20))

Si ottiene

2⋅√2

2 \sqrt{2}

2.8284271247461900976

________

4⋅╲╱ 2 - √2

4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}

3.0614674589207181738

________________

╱ ________

8⋅╲╱ 2 - ╲╱ √2 + 2

8 \sqrt{2 - \sqrt{\sqrt{2} + 2}}

3.1214451522580522856

_________________________

╱ ________________

╱ ╱ ________

16⋅╲╱ 2 - ╲╱ ╲╱ √2 + 2 + 2

16 \sqrt{2 - \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} + 2} + 2}}

3.1365484905459392638

___________________________________

╱ _________________________

╱ ╱ ________________

╱ ╱ ╱ ________

32⋅╲╱ 2 - ╲╱ ╲╱ ╲╱ √2 + 2 + 2 + 2

32 \sqrt{2 - \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2} + 2} + 2} + 2}}

3.1403311569547529123

Utilizzando le codifiche LaTeX (con qualche commutazione) …

Pi greco con metodo di Archimede

02/07/202201/07/2022 di admin

Vedi la discussione

import math

n=6 # Esagono

# Raggio = 1 (Apotema circoscritto)

Li = 1 # Poligono inscritto

Ai = math.sqrt(1-(Li/2)**2) #

Pi = n*Li #

PIi = Pi/2 #

Lc = Li/Ai # Poligono circoscritto

Pc = n*Lc #

PIc = Pc/2 #

Delta = 1-Ai # Apotema circ. - apotema inscr.

print("%5d - %18.16f %18.16f" %(n, PIi, PIc))

for passo in range(1,15):

n=2*n

Li = math.sqrt((Li/2)**2+Delta**2)

Ai = math.sqrt(1-(Li/2)**2)

Pi = n*Li

PIi = Pi/2

Lc = Li/Ai

Pc = n*Lc

PIc = Pc/2

Delta=1-Ai

print("%5d - %18.16f %18.16f" %(n, PIi, PIc))

Si ottiene

6 - 3.0000000000000000 3.4641016151377553

12 - 3.1058285412302489 3.2153903091734723

24 - 3.1326286132812378 3.1596599420975000

48 - 3.1393502030468667 3.1460862151314348

96 - 3.1410319508905098 3.1427145996453683

192 - 3.1414524722854624 3.1418730499798242

384 - 3.1415576079118579 3.1416627470568486

768 - 3.1415838921483186 3.1416101766046900

1536 - 3.1415904632280505 3.1415970343215260

3072 - 3.1415921059992717 3.1415937487713523

6144 - 3.1415925166921577 3.1415929273850973

12288 - 3.1415926193653840 3.1415927220386139

24576 - 3.1415926450336911 3.1415926707019981

49152 - 3.1415926514507682 3.1415926578678448

98304 - 3.1415926530550373 3.1415926546593065

matplotlib Per numero di lati fino a 96

import math

import matplotlib.pyplot as plt

N = [6*2**i for i in range(0,5)]

PII = 5*[0]

PIC = 5*[0]

n = N[0]

Li = 1 # Poligono inscritto

Ai = math.sqrt(1-(Li/2)**2) #

Pi = n*Li #

PIi = Pi/2 #

Lc = Li/Ai # Poligono circoscritto

Pc = n*Lc #

PIc = Pc/2 #

Delta = 1-Ai # Apotema circ. - apotema inscr.

PII[0]=PIi

PIC[0]=PIc

print("%5d - %18.16f %18.16f" %(n,PIi, PIc))

for passo in range(1,5):

n=N[passo]

Li = math.sqrt((Li/2)**2+Delta**2)

Ai = math.sqrt(1-(Li/2)**2)

Pi = n*Li

PIi = Pi/2

Lc = Li/Ai

Pc = n*Lc

PIc = Pc/2

Delta = 1-Ai

PII[passo]=PIi

PIC[passo]=PIc

print("%5d - %18.16f %18.16f" %(n,PIi, PIc))

plt.grid(which="major")

plt.plot(PII)

plt.plot(PIC)

plt.title("Pi greco - Metodo di Archimede")

plt.xticks(range(0,5), N)

plt.show()