OII 2009-12-03 – 6

Un regista vuole sapere quante proiezioni del suo film sono state fatte in un certo cinema.
L’usciere del cinema in cui il film è stato proiettato gli fornisce queste informazioni:

Alla prima proiezione c’era un solo spettatore

A ogni nuova proiezione il numero degli spettatori è cresciuto di un’unità rispetto alla proiezione precedente

Il numero totale di spettatori durante tutte le proiezioni è stato 820.

Quante proiezioni ci sono state?

Soluzione: 40.

Soluzione #1

(???) Elenco le proiezioni finché non giungo a 820 spettatori

Proiezione Spettatori Spettatori totali

1 1 1

2 2 3

3 3 6

4 4 10

5 5 15

6 6 21

7 7 28

8 8 36

9 9 45

10 10 55

11 11 66

12 12 78

13 13 91

14 14 105

15 15 120

16 16 136

17 17 153

18 18 171

19 19 190

20 20 210

21 21 231

22 22 253

23 23 276

24 24 300

25 25 325

26 26 351

27 27 378

28 28 406

29 29 435

30 30 465

31 31 496

32 32 528

33 33 561

34 34 595

35 35 630

36 36 666

37 37 703

38 38 741

39 39 780

40 40 820

Soluzione #2

(?) Elenco le prime 10 proiezioni

Proiezione Spettatori Spettatori totali

1 1 1

2 2 3

3 3 6

4 4 10

5 5 15

6 6 21

7 7 28

8 8 36

9 9 45

10 10 55

Gli spettatori delle prossime 10 proiezioni sono

11 = 10+1
12 = 10+2
…
20 = 10 +10

quindi 100+55 = 155 spettatori e quindi sono in totale 55+155=210.

Gli spettatori delle prossime 10 proiezioni sono

21 = 20+1
22 = 20+2
…
30 = 20 +10

quindi 200+55 = 255 spettatori e quindi sono in totale 210+255=465.

Gli spettatori delle prossime 10 proiezioni sono

31 = 30+1
32 = 30+2
…
40 = 30 +10

quindi 300+55 = 355 spettatori e quindi sono in totale 465+355=820.

Alla 40-esima proiezione si raggiungono gli 820 spettatori.

Soluzione #3

La somma dei numeri interi da 1 a n è $\frac{n(n+1)}{2}$ .

Per risolvere il problema è necessario risolvere l’equazione $\frac{n(n+1)}{2}=820$

…

n = 40.

Soluzione #4

Come prima …: $\frac{n(n+1)}{2}=820$

Si può risolvere intuitivamente…

$n(n+1)=1640$

4*4 = 16
40*40 = 1600
40*41 = 1640

n = 40.