Integrazione numerica – Pi greco – Rettangoli

Esame di Stato 2003 PNI – Quesito 7

Verificare l’uguaglianza $\displaystyle \pi=4\int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\ dx$ e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.

Esame di Stato 2006 – Quesito 10

Tenuto conto che $\displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_{0}^1 \frac{dx}{1+x^2}$ calcola un’approssimazione di pi greco utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Vedi la discussione

Si calcola in modo approssimato, con il metodo dei rettangoli, il valore dell’integrale definito $\displaystyle S=\int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\ dx$
Si utilizza il risultato per approssimare il valore di pi greco.

def f(x): return 1/(1+x**2)

a=0
b=1
n=10

h=(b-a)/n
S=0

x=a
for i in range(n):
    y  = f(x)
    S += y       ; print("%i | %f | %f | %f" %(i, x, y, S))
    x += h

int_def  = h*S
pi_greco = 4*int_def

print("Integrale definito =", int_def )
print("Pi greco           =", pi_greco)

Output

0 | 0.000000 | 1.000000 | 1.000000
1 | 0.100000 | 0.990099 | 1.990099
2 | 0.200000 | 0.961538 | 2.951637
3 | 0.300000 | 0.917431 | 3.869069
4 | 0.400000 | 0.862069 | 4.731138
5 | 0.500000 | 0.800000 | 5.531138
6 | 0.600000 | 0.735294 | 6.266432
7 | 0.700000 | 0.671141 | 6.937573
8 | 0.800000 | 0.609756 | 7.547329
9 | 0.900000 | 0.552486 | 8.099815

Integrale definito = 0.8099814972267897
Pi greco           = 3.2399259889071588

fractions

Se gli estremi di integrazione sono interi o frazioni, si possono ottenere valori formali esatti…

import fractions

def f(x): return 1/(1+x**2)

a=0
b=1
n=10

h=fractions.Fraction(b-a,n)
S=fractions.Fraction(0,1)
x=fractions.Fraction(a,1)
for i in range(n):
    y  = f(x)
    S += y       ; print("%i | %4s | %7s | %32s" %(i, x ,y, S))
    x += h

int_def  = h*S
pi_greco = 4*int_def

print()
print("Integrale definito =", int_def , "=", float(int_def) )
print("Pi greco           =", pi_greco, "=", float(pi_greco))

Output

0 |    0 |       1 |                                1
1 | 1/10 | 100/101 |                          201/101
2 |  1/5 |   25/26 |                        7751/2626
3 | 3/10 | 100/109 |                   1107459/286234
4 |  2/5 |   25/29 |                 39272161/8300786
5 |  1/2 |     4/5 |               229563949/41503930
6 |  3/5 |   25/34 |             2210693129/352783405
7 | 7/10 | 100/149 |         364671616721/52564727345
8 |  4/5 |   25/41 |     16265654469186/2155153821145
9 | 9/10 | 100/181 | 3159598841037166/390082841627245
 
Integrale definito = 1579799420518583/1950414208136225 = 0.8099814972267897
Pi greco           = 6319197682074332/1950414208136225 = 3.2399259889071588