Integrazione numerica – Pi greco – Parabole

Esame di Stato 2003 PNI – Quesito 7

Verificare l’uguaglianza $\displaystyle \pi=4\int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\ dx$ e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.

Esame di Stato 2006 – Quesito 10

Tenuto conto che $\displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_{0}^1 \frac{dx}{1+x^2}$ calcola un’approssimazione di pi greco utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

Vedi la discussione

Si calcola in modo approssimato, con il metodo delle parabole, il valore dell’integrale definito $\displaystyle S=\int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\ dx$
Si utilizza il risultato per approssimare il valore di pi greco.

Soluzione 1

def f(x): return 1/(1+x**2)
 
a=0
b=1
n=10

h    =(b-a)/n
somma=0

x=a
for i in range(n+1):  
    y = f(x)                              # Base i-esima

    if(i == 0) or (i == n): somma += y    # Prima e ultima altezza: peso 1
    elif(i%2 == 1):         somma += 4*y  # Indici dispari        : peso 4
    else:                   somma += 2*y  # Indici pari           : peso 2

    x += h
  
int_def  = h/3*somma;
pi_greco = 4*int_def;
 
print("Integrale definito =", int_def )
print("Pi greco           =", pi_greco)

Risultato

Integrale definito = 0.7853981534848038
Pi greco           = 3.141592613939215

Soluzione 2

Elimino la scelta multipla nel for

def f(x): return 1/(1+x**2)

a=0
b=1
n=10

h     = (b-a)/n
H     = 2*h                       # Passo doppio per le x
somma = 0

somma += f(a)                     # i=0, x=a

x=a+h                             # x=a+h,a+3h,a+5h,...
for i in range(1,n,2):            # i=1  ,3   ,5   ,...
    somma += 4*f(x)               # Coefficiente=4
    x     += H

x=a+H                             # x=a+2h,a+4h,a+6h,...
for i in range(2,n,2):            # i=2   ,4   ,6   ,...
    somma += 2*f(x)               # Coefficiente=2
    x     += H

somma += f(b)                     # i=n, x=b 

int_def  = h/3*somma
pi_greco = 4*int_def

print("Integrale definito =", int_def )
print("Pi greco           =", pi_greco)