Category Archives: CALCOLO

E.S. 2019 Suppletiva – 5

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Una persona lancia simultaneamente due dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6, poi trascrive su un foglio il massimo dei due numeri usciti.
Ripetendo molte volte la procedura, quale ci si può attendere che sarà la media dei valori trascritti?

Costruisci la tabella degli esiti possibili

1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6

Dalla tabella è possibile conteggiare le combinazioni per ogni esito e quindi calcolare la probabilità

Esito Numero
combinazioni		 probabilità
1 1 1/36 0,0277… 2,77… %
2 3 3/36 0,0833… 8,55… %
3 5 5/36 0,1388… 13,88… %
4 7 7/36 0,1944… 19,44… %
5 9 9/36 0,25 25,00… %
6 11 11/36 0,3055… 30,55… %
36

Sia X la variabile casuale “massimo nel lancio di due dadi”, allora

X p pX X^2 pX^2 (X-m) (X-m)^2 p(X-m)^2
1 1/36 1/36 1 1/36 — — —
2 3/36 6/36 4 12/36
3 5/36 15/36 9 45/36
4 7/36 28/36 16 112/36
5 9/36 45/36 25 225/36
6 11/36 66/36 36 396/36
M(X) 161/36 M(X^2) 791/36 var(X) —

Osserva

  • M(X) = \sum_i p_ix_i = 161/36 = 4,472…
  • var(X) = \sum_i p_i(x_i-m)^2 = …
  • \sigma(X) = \sqrt{\sum_i p_i(x_i-m)^2} = …

oppure

  • [M(X)]^2 = …
  • M(X^2) = \sum_i p_ix_i^2 = 791/36
  • var(X) = M(X^2) – [M(X)]^2 = 791/36 – … = …

Codifica: Python

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Numero del vampiro

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Da Wikipedia

In matematica, un numero del vampiro è un numero naturale composto v, con un numero pari di cifre n, che può essere fattorizzato in due interi x e y (chiamati zanne) che non abbiano entrambi degli zeri finali e ognuno dei quali abbia n/2 cifre, dove v contiene precisamente tutte le cifre di x e y, in un ordine qualsiasi, contando la molteplicità.

1260

Il primo numero del vampiro è 1260, infatti

  • 01*26 = 26*01 = 26
  • 01*62 = 62*01 = 62
  • 02*16 = 16*02 = 32
  • 02*61 = 61*02 = 122
  • 06*12 = 12*06 = 72
  • 06*21 = 21*06 = 126
  • 10*26 = 26*10 = 2600
  • 10*62 = 62*10 = 6200
  • 12*60 = 60*12 = 720
  • 16*20 = 20*16 = 320
  • 20*61 = 61*20 = 1220
  • 21*60 = 60*21 = 1260

Con 4 cifre

I numeri del vampiro di 4 cifre sono 7

  1. 1260 = 21*60
  2. 1395 = 15*93
  3. 1435 = 35*41
  4. 1530 = 30*51
  5. 1827 = 21*87
  6. 2187 = 27*81
  7. 6880 = 80*86

…

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Conversioni di bit

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Quando il numero di bit diventa grande si utilizzano i multipli byte, KB, MB, GB, TB, PB

100 bit = ???

  • 8 bit = 1 byte
  • Esegui una divisione intera tra 100 e 8: il quoziente è 12 il resto è 4
  • 100 bit = (12·8+4) bit = 12·8 bit + 4 bit = 12 byte e 4 bit

1.000 bit = ???

???

10.000 bit = ???

  • 8 bit = 1 byte
  • 1024 byte = 1 KB
  • 10.000 bit = 1250·8 bit = 1250 byte = (1·1024 + 226) byte = 1 KB e 226 byte

100.000 bit = ???

???

1.000.000 bit = ???

  • 1.000.000 bit = … = 122 KB e 72 byte

10.000.000 bit = ???

  • 10.000.000 bit = …

Con il foglio di calcolo

 

Formule?

  • (byte) = QUOZIENTE(Bit; 8)
  • (bit) = RESTO(Bit; 8)
  • ???

Qual è la dimensione effettiva di un file?

  1  B =                 1*8 bit =              8 bit
 10  B =                10*8 bit =             80 bit
100  B =               100*8 bit =            800 bit
  1 KB =            1*1024*8 bit =          8.192 bit
 10 KB =           10*1024*8 bit =         81.920 bit
100 KB =          100*1024*8 bit =        819.200 bit
  1 MB =       1*1024*1024*8 bit =      8.388.608 bit
 10 MB =      10*1024*1024*8 bit =     83.886.080 bit
100 MB =     100*1024*1024*8 bit =    838.860.800 bit
  1 GB =  1*1024*1024*1024*8 bit =  8.589.934.592 bit
 10 GB = 10*1024*1024*1024*8 bit = 85.899.345.920 bit

A seconda della situazione potremmo avere bisogno della dimensione in bit, byte, KB, …

  1. 10 KB = ??? byte
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10.240 byte
  2. 10 KB = ??? bit
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10·1024·8 bit = 81.920 bit
  3. 5 MB = ??? byte
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = ??? byte
  4. 5 MB = ??? bit
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = 5·1024·1024·8 bit = ??? bit
  5. 700 MB = ??? KB
  6. 700 MB = ??? byte
  7. 700 MB = ??? bit
    • 700 MB = … = 700·1024·1024·8 bit = ??? bit
  8. 10.000 byte = ??? KB
    • 10.000 byte = (9·1024+784) byte = 9 KB e 784 byte

Dovendo svolgere delle moltiplicazioni o divisioni con grandi quantità risulta molto comoda la forma fattorizzata

  1. 100 bit = 102 bit = (2·5)2 bit = 22·52 bit
  2. 1000 bit = … = ??? bit
  3. 10.000 byte = 104(23 bit) = 24·54·23 bit = 27·54 bit
  4. 1.000.000 bit = … = 26·56 bit
  5. 10 KB = (2·5)(210)(23 bit) = 214·5 bit
  6. 1 MB = (210)(210)(23 bit) = ??? bit
  7. 5 MB = 5·(220)(23 bit) = 223·5 bit
  8. 100 MB = ??? bit
  9. 700 MB = (22·52·7)(220)(23 bit) = 225·52·7 bit
  10. 1 GB = ??? bit
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Problemino di Francesca

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L’insegnante d’inglese ha già interrogato 7 studenti su 27. Ha avvertito che interrogherà 4 studenti scelti a caso.
Francesca non è stata ancora interrogata. Qual è la probabilità che venga interrogata oggi?

Soluzione 1: calcola la probabilità che Francesca venga estratta

  • p(“Francesca estratta per prima”) = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca estratta come seconda”) = \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca estratta come terza”) = \frac{19}{20}\cdot \frac{18}{19}\cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca estratta come quarta”) = \frac{19}{20}\cdot \frac{18}{19}\cdot \frac{17}{18}\cdot \frac{1}{17} = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca interrogata”) = 4\cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} = 0,20 = 20%

Soluzione 2: calcola la probabilità come rapporto tra il numero di gruppi ordinati di 3 studenti, da aggiungere a Francesca, e il numero di gruppi ordinati generici

  • I gruppi ordinati di 3 studenti da aggiungere a Francesca: {19 \choose 3}
  • Tutti i gruppi ordinati di 4 studenti: {20 \choose 4}
  • p(“Francesca interrogata”) = \frac{{19 \choose 3}}{{20 \choose 4}} = … = \frac{1}{5}

Soluzione 3: calcola la probabilità come rapporto tra il numero di gruppi di 4 studenti, compresa Francesca, e il numero di gruppi generici

  • 4 studenti, Francesca prima: (F)·19·18·17
  • 4 studenti, Francesca seconda: 19·(F)·18·17
  • 4 studenti, Francesca terza: 19·18·(F)·17
  • 4 studenti, Francesca quarta: 19·18·17·(F)
  • 4 studenti: 20·19·18·17
  • p(“Francesca interrogata”) = \frac{4\cdot(19\cdot18\cdot17)}{20\cdot19\cdot18\cdot17} = \frac{1}{5}

Soluzione 4: la classe viene divisa casualmente in 5 gruppi di 4 studenti, calcola la probabilità che oggi venga estratto il gruppo cui appartiene Francesca

  • p(“Francesca interrogata”) = p(“gruppo di Francesca”) = \frac{1}{5}
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Moneta di Buffon 1

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L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento ricoperto di assi parallele (parquet…).

La probabilità che la moneta tocchi il bordo di un’asse dipende dall’altezza di ogni striscia e dal raggio della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di una striscia interna

  1. Altezza della striscia sul pavimento, H
  2. Raggio della moneta, R, \ \ \ 0 \leq R \leq \frac{H}{2}
  3. Altezza della striscia interna,  h=H-2R

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie della striscia interna e tutta la superficie di una striscia, quindi dal rapporto tra le due altezze

P_I = \frac{h}{H}=\frac{H-2R}{H}=1-\frac{2R}{H}

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I=\frac{2R}{H}

Per semplificare

  1. Altezza della striscia, H=1
  2. Raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

La probabilità che la moneta tocchi il bordo della striscia è, al variare del raggio della moneta

R h PI P
1/8 6/8 6/8 2/8
 0,25
2/8 4/8 4/8 4/8
 0,50
3/8 2/8 2/8 6/8
 0,75

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della striscia ha y=0
  • l’ordinata del centro della moneta -1/2 \leq y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una striscia se |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della striscia e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R Numero lanci P
101 102 103 104 105
1/8 ? ? ? ? ? 0,25
2/8 ? ? ? ? ? 0,50
3/8 ? ? ? ? ? 0,75

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Da base 10 a base 2,8,16

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Da base 10 a base 2

(100)10 = (?)2

Con divisioni intere successive, la conversione è data dai resti delle divisioni (dall’ultimo al primo)

Puoi riassumere tutto in una tabella

La seconda colonna è superflua

Quindi

(100)10 = (1100100)2

(250)10 = (?)2

(250)10 = (11111010)2

Da base 10 a base 8

(100)10 = (?)8

(100)10 = (144)8

(250)10 = (?)8

(250)10 = (372)8

Da base 10 a base 16

(100)10 = (?)H

(100)10 = (64)H

(250)10 = (?)H

(250)10 = (FA)H

Con il foglio di calcolo

  • BASE(250, 2) -> 11111010
    • BASE(250, 2, 16) -> 0000000011111010
  • BASE(100, 8) -> 144
    • BASE(100, 8, 4) -> 0144
  • BASE(100, 16) -> 64
    • BASE(100, 16, 4) -> 0064
  • DECIMALE.BINARIO(250) -> 11111010
    • DECIMALE.BINARIO(250, 16) -> 0000000011111010
  • DECIMALE.HEX(100) -> 64
    • DECIMALE.HEX(100,4) -> 0064
  • DECIMALE.OCT(100) -> 144
    • DECIMALE.OCT(100, 4) -> 0144
Categories: CALCOLO, LibreOffice Calc

Da base 2,8,16 a base 10

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Da base 2 a base 10

Espandi in somma di potenze

(101)2 = (?)10

(101)2 = 1·22 + 0·21 + 1·20
= 1·4 + 0·2 + 1·1
= 4 + 0 + 1
= (5)10

(1101)2 = (?)10

(1101)2 = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20
= 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1
= 8 + 4 + 0 + 1
= (13)10

Da base 8 a base 10

Espandi in somma di potenze

(101)8 = (?)10

(101)8 = 1·82 + 0·81 + 1·80
= 1·64 + 0·8 + 1·1
= 64 + 0 + 1
= (65)10

(1506)8 = (?)10

(1506)8 = 1·83 + 5·82 + 0·81 + 6·80
= 1·512 + 5·64 + 0·8 + 6·1
= 512 + 320 + 0 + 6
= (838)10

Da base 16 a base 10

Espandi in somma di potenze

(101)H = (?)10

(101)H = 1·162 + 0·161 + 1·160
= 1·256 + 0·16 + 1·1
= 256 + 0 + 1
= (257)10

(5B6)H = (?)10

(5B6)H = 5·162 + B·161 + 6·160
= 5·256 + 11·16 + 6·1
= 1280 + 176 + 6
= (1462)10

Con il foglio di calcolo

  • BINARIO.DECIMALE(11111010) -> 250
  • DECIMALE(11111010, 2) -> 250
  • DECIMALE(144, 8) -> 100
  • DECIMALE(64, 16) -> 100
  • HEX.DECIMALE(64) -> 100
  • OCT.DECIMALE(144) -> 100
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Contare in base 2, 8, 16

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Base 2

Le cifre sono 2: 0 e 1
La base delle potenze è 2

Contare in base 2

Base 8

Le cifre sono 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

La base delle potenze è 8

Contare in base 8

Base 16

Le cifre sono 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

La base delle potenze è 16

Contare in base 16

Contare con la base una potenza di 2

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Logica – Quesiti

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Quesiti di provenienza diversa, in ordine alfabetico…

1

Determinare quale è la relazione che assume valore vero quando x è esterno all’intervallo [A, B] e y è interno allo stesso intervallo?

  1. (x<A) And (x>B) And (y>=A) And (y<B)
  2. ((x<A) Or (x>B)) And ((y>=A) And (y<=B))
  3. ((x<A) Or (x>B)) And ((y>=A) Or (y<=B))
  4. ((x<A) Or (x>B)) Or ((y>=A) Or (y<=B))
  5. ((x<A) And (x>B)) And ((y>=A) Or (y<=B))
  6. ((x<A) Or (x>B)) Or ((y>=A) And (y<B))

2 

Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.

Le tabelle di verità della congiunzione “e” (∧), della disgiunzione “o” (∨) e della negazione “non” (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tabella di verità della proposizione P: ¬(A∧B)∨A?

3

Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.
Le tavole di verità della disgiunzione (∨), della doppia implicazione (⇔) e della negazione (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tavola di verità della proposizione P: (A ∨ (¬ B)) ⇔ B)?

4

Siano A e B due variabili booleane.
Quali delle seguenti espressioni è equivalente a: not (A or B) and (A or (A and B)) ?

  1. (not A and not B and A) or B
  2. not A or (not B and A) or (A and B)
  3. not A and not B and A and B
  4. Nessuna delle risposte precedenti

5

Siano A, B, C, D, E cinque variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordando che gli operatori booleani sono:

  • ¬A
    (not A) VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO
  • A ∧ B
    (A and B) VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi
  • A ∨ B
    (A or B) FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi

e che in assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima not, poi and, poi or) si dica a cosa è equivalente la seguente espressione booleana

¬(¬(A ∧ (B ∨ A)) ∧ ¬(C ∨ (C ∧ D)))

  1. A ∨ ¬B ∧ C
  2. A
  3. A ∨ C
  4. C

6

Siano P, Q, R, S quattro variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo uno dei due valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordiamo che gli operatori booleani sono:

  1. not A, che si indica con ¬A, vale VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO;
  2. A and B, che si indica con A ∧ B, vale VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi;
  3. A or B, che si indica con A ∨ B, vale FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi.

In assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima il not, poi l’and, infine l’or).
Si consideri la seguente espressione logica:

(P∧Q)∧(R∧S)∨(¬P∧Q)

Quale delle seguenti espressioni logiche non è equivalente a quella riportata qui sopra?
Con equivalente si intende che assume gli stessi valori in funzione dei valori delle variabili booleane P, Q, R e S.

  1. (P∧Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)
  2. ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)
  3. ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)∧(R∨¬R)
  4. (¬P∨¬Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)

…

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Giochi equi…

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In ordine alfabetico

1

Di due diverse lotterie sono stati venduti, rispettivamente, 400 e 350 biglietti.
Avendo acquistato 15 biglietti della prima e 18 biglietti della seconda, in quale delle due lotterie si ha la maggior probabilità di vincere?

2

Nel seguente gioco due giocatori estraggono una carta dal mazzo:

  • Il primo giocatore vince 3 € se esce una carta di fiori e vince 5 € se esce una carte di picche
  • Il secondo giocatore vince 4 € se esce una carta rossa

Il gioco è equo?

3

Nella seguente situazione di gioco effettuato con un mazzo di 40 carte si estrae una carte:

  • se è una figura vinci 0,70 €
  • se non è una figura ma è una carta di bastoni o spade vinci 0,50 €
  • se è il settebello perdi 16 €.

Rispondi

  1. Qual è la speranza matematica del gioco?
  2. Dopo molte giocate chi ne trae vantaggio?
  3. Come devono cambiare le regole affinché il gioco divenga equo?

4

Partecipi ad un gioco che ha due varianti: in entrambe lanci due dadi, ma nella prima vinci se i due dadi mostrano la stessa faccia, mentre nella seconda se la somma delle due facce è pari a 7.

A quale delle due varianti del gioco preferisci partecipare?

  1. Alla prima
  2. Alla seconda
  3. Ritieni che siano equivalenti
  4. Gli esiti delle due varianti del gioco non sono confrontabili

5

Supponiamo di lanciare un dado a 6 facce e di puntare sul 6.

  1. Se ripetiamo il lancio 6000 volte quante volte uscirà la faccia numero 6?
  2. Scommettendo 1€ per 600 giocate, con una vincita di 3€, quale sarà il bilancio finale?
  1. Qual è la speranza matematica del gioco?

6

Un gioco d’azzardo ha le seguenti regole:

  • Una persona punta 10 € su un solo numero da 1 a 6 e lancia tre dadi.
  • Se il numero puntato esce una volta la persona ritira la propria posta e vince 10 €, se esce due volte ritira la propria posta e vince 20 €, se esce tre volte ritira la propria posta e vince 30 € (ovviamente, se il numero puntato non esce perde la posta di 10 €).
  • Può ripetere le puntate quante volte vuole.

Stabilire se:

  1. Il gioco è equo
  2. Il gioco è favorevole a chi tiene il banco
  3. Il gioco è favorevole al giocatore
  4. Non possiamo stabilire nessuna delle precedenti risposte se non sappiamo il numero delle puntate effettuate

Ancora

  1. Roulette
  2. Lotto
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