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2020 – Medicina… – 18

Enea e i suoi amici, in tutto meno di dieci persone, si recano ad un ristorante con menu a prezzi fissi: il prezzo per un secondo di carne è 11 € mentre per un secondo di pesce 13 €.
Se Enea e i suoi amici hanno speso 107 € per i secondi, quanti secondi di pesce hanno ordinato?


Prova…


Tolta la spesa per il pesce deve rimanere una spesa divisibile per 11…


Osserva

11*carne+13*pesce=107

quindi

carne=(107-13*pesce)/11

 

2020 – Medicina… – 16

Sia m = (n + 1)(n + 2)(n + 3) un numero di tre cifre ed n numero naturale, per quanti valori di n il numero m è divisibile per 7?


Osserva

  1. m numero di 3 cifre –> 100 <= m < 1000
  2. n numero naturale –> n=0,1,2,3,4,…
  3. m divisibile per 7 –>  m mod 7 = 0

Prova…


Oppure, m è divisibile per 7 se uno dei suoi fattori lo è… (7, 14, 21, 28, …)

E.S. 2019 Suppletiva – 5

Una persona lancia simultaneamente due dadi da gioco, con facce numerate da 1 a 6, poi trascrive su un foglio il massimo dei due numeri usciti.
Ripetendo molte volte la procedura, quale ci si può attendere che sarà la media dei valori trascritti?


Costruisci la tabella degli esiti possibili

1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6

Dalla tabella è possibile conteggiare le combinazioni per ogni esito e quindi calcolare la probabilità

Esito Numero
combinazioni
probabilità
1 1 1/36 0,0277… 2,77… %
2 3 3/36 0,0833… 8,55… %
3 5 5/36 0,1388… 13,88… %
4 7 7/36 0,1944… 19,44… %
5 9 9/36 0,25 25,00… %
6 11 11/36 0,3055… 30,55… %
36

Sia X la variabile casuale “massimo nel lancio di due dadi”, allora

X p pX X^2 pX^2 (X-m) (X-m)^2 p(X-m)^2
1 1/36 1/36 1 1/36
2 3/36 6/36 4 12/36
3 5/36 15/36 9 45/36
4 7/36 28/36 16 112/36
5 9/36 45/36 25 225/36
6 11/36 66/36 36 396/36
M(X) 161/36 M(X^2) 791/36 var(X)

Osserva

  • M(X)\sum_i p_ix_i = 161/36 = 4,472
  • var(X) = \sum_i p_i(x_i-m)^2 = …
  • \sigma(X) = \sqrt{\sum_i p_i(x_i-m)^2} = …

oppure

  • [M(X)]^2 = …
  • M(X^2) = \sum_i p_ix_i^2 = 791/36
  • var(X) = M(X^2) – [M(X)]^2 = 791/36 – … = …


Codifica: Python

Sfida a dadi

Matematica Senza Frontiere 2019-2020 – Accoglienza

Durante un pomeriggio piovoso, Antonio e Bernardo si sono divertiti a costruire dei dadi un po’ particolari: i numeri sulle facce opposte sono uguali. Antonio ha fabbricato il dado A con i numeri 2, 4, 10 e Bernardo il dado B con i numeri 3, 5, 8. Lanciano i loro dadi contemporaneamente. Ciascuna faccia ha la stessa probabilità di apparire. Un giocatore vince quando il numero ottenuto sulla faccia superiore del suo dado è maggiore del numero che compare su quella dell’avversario.

Qual è la probabilità che Antonio vinca? Motivate la risposta.

Arriva la sorella Cloe che lancia loro la seguente sfida: «Costruitemi un dado dello stesso tipo con altri tre numeri tale che, se gioco contro Antonio, io abbia meno del 50% di possibilità di vincere mentre, se gioco contro Bernardo, abbia più del 50% di possibilità di vincere.»

Fornite un esempio di dado che risolva questa sfida.


Qual è la probabilità che Antonio vinca?


Il dado A può far apparire i numeri 2, 4, 10 con probabilità 2/6 = 1/3.
Il dado B può far apparire i numeri 3, 5, 8 con probabilità 2/6 = 1/3

Considera tutte i possibili esiti del lancio dei due dadi

Ogni esito ha probabilità 1/9.

Antonio vince in 4 casi su 9 quindi vince con probabilità  4/9 = 0,4444… =  44,44 %.
Bernardo vince in 5 casi su 9 quindi vince con probabilità  5/9 = 0,5555… =  55,55 %. 


Fornite un esempio di dado…


Prova con 1, 6, 7

Cloe contro Antonio → 4/9
Cloe contro Bernardo → 4/9


Prova con 1, 6, 9

Cloe contro Antonio → 4/9
Cloe contro Bernardo → 5/9


Prova con 1, 7, 9

Cloe contro Antonio → 4/9
Cloe contro Bernardo → 5/9


Prova con 6, 7, 9

Cloe contro Antonio → 6/9
Cloe contro Bernardo → 7 /9

Residenze

Realizza un foglio di calcolo simile a quello nella figura

La prima tabella contiene l’elenco di classe (in ordine alfabetico di cognome e nome)
La seconda tabella contiene tutte le residenze (in ordine alfabetico) con i relativi conteggi.

È necessaria la funzione CONTA.SE(…; criterio)
Per i controlli utilizza CONTA.VALORI(…) e SOMMA(…)

Funzioni – Foglio elettronico

Informazioni sui contenuto dei fogli

CERCA()
CERCA.ORIZZ()
CERCA.VERT() valore
matrice
indice
Restituisce il valore corrispondente al valore nella colonna indicata

  1. il valore da cercare
  2. la riga o la colonna dove cercare il valore
  3. l’indice della colonna dove prendere il valore corrispondente
CONFRONTA() valore
matrice
tipo
Restituisce l’indice del valore nella riga/colonna

  1. il valore da cercare
  2. la riga o la colonna dove cercare il valore
  3. tipo di confronto
    • -1, ordine decrescente, primo valore maggiore o uguale
    • 0, corrispondenza esatta
    • 1, ordine crescente, ultimo valore minore o uguale
ERRORE.TIPO() valore_errore Restituisce il codice corrispondente all’errore oppure all’errore presente nella cella specificata

  • “Err:511”: 1
  • “#DIV/0!”: 2
  • “#VALORE!”: 3
  • “#RIF!”: 4
  • “#NOME?”: 5
  • “#NUM!”: 6
  • “#N/D”: 7
  • Altro: #N/D

Numero del vampiro

Da Wikipedia

In matematica, un numero del vampiro è un numero naturale composto v, con un numero pari di cifre n, che può essere fattorizzato in due interi x e y (chiamati zanne) che non abbiano entrambi degli zeri finali e ognuno dei quali abbia n/2 cifre, dove v contiene precisamente tutte le cifre di x e y, in un ordine qualsiasi, contando la molteplicità.


1260


Il primo numero del vampiro è 1260, infatti

  • 01*26 = 26*01 = 26
  • 01*62 = 62*01 = 62
  • 02*16 = 16*02 = 32
  • 02*61 = 61*02 = 122
  • 06*12 = 12*06 = 72
  • 06*21 = 21*06 = 126
  • 10*26 = 26*10 = 2600
  • 10*62 = 62*10 = 6200
  • 12*60 = 60*12 = 720
  • 16*20 = 20*16 = 320
  • 20*61 = 61*20 = 1220
  • 21*60 = 60*21 = 1260

Con 4 cifre


I numeri del vampiro di 4 cifre sono 7

  1. 1260 = 21*60
  2. 1395 = 15*93
  3. 1435 = 35*41
  4. 1530 = 30*51
  5. 1827 = 21*87
  6. 2187 = 27*81
  7. 6880 = 80*86

Sequenza soluzione?

Per ogni sequenza di lunghezza qualsiasi esistono infinite sequenze che la prolungano ragionevolmente…


Data la sequenza

può essere ragionevolmente prolungata come

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 4, 2, 3, …

Le somme di tre numeri consecutivi sono uguali a coppie e le somme sono decrescenti con la regola -2, -1, -2, -1, …

oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 4, 2, 3, …

Dalla 5° posizione in poi il valore dipende da quello di 4 posizioni precedenti, secondo la regola ripetuta -1, -3, +1


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 3, 2, 4, 3, 0, …

Tre sequenze indipendenti di coppie decrescenti con variazione -1,-2,-2


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 7, 2, 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, …

Una sequenza 7, 6, 4, 5, 5, 2 che si ripete alternata con se stessa


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 1, 2, -1, 1, …

Una sequenza con variazioni -1, -2, +1, 0, -3 alternata con se stessa


Continua…

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 3, 7, -2, 0, 11, -8, …

Tre sequenze indipendenti e le loro variazioni sono progressioni aritmetiche con ragione -1, +2, -2



La soluzione è data dalla sequenza che nel contesto culturale di chi propone il quesito, e di chi deve risolverlo, è la più immediata (?)

Conversioni di bit

Quando il numero di bit diventa grande si utilizzano i multipli byte, KB, MB, GB, TB, PB


100 bit = ???


  • 8 bit = 1 byte
  • Esegui una divisione intera tra 100 e 8: il quoziente è 12 il resto è 4
  • 100 bit = (12·8+4) bit = 12·8 bit + 4 bit = 12 byte e 4 bit

1.000 bit = ???


???


10.000 bit = ???


  • 8 bit = 1 byte
  • 1024 byte = 1 KB
  • 10.000 bit = 1250·8 bit = 1250 byte = (1·1024 + 226) byte = 1 KB e 226 byte

100.000 bit = ???


???


1.000.000 bit = ???


  • 1.000.000 bit = … = 122 KB e 72 byte

10.000.000 bit = ???


  • 10.000.000 bit = …



Con il foglio di calcolo

 

Formule?

  • (byte) = QUOZIENTE(Bit; 8)
  • (bit) = RESTO(Bit; 8)
  • ???



Qual è la dimensione effettiva di un file?

  1  B =                 1*8 bit =              8 bit
 10  B =                10*8 bit =             80 bit
100  B =               100*8 bit =            800 bit
  1 KB =            1*1024*8 bit =          8.192 bit
 10 KB =           10*1024*8 bit =         81.920 bit
100 KB =          100*1024*8 bit =        819.200 bit
  1 MB =       1*1024*1024*8 bit =      8.388.608 bit
 10 MB =      10*1024*1024*8 bit =     83.886.080 bit
100 MB =     100*1024*1024*8 bit =    838.860.800 bit
  1 GB =  1*1024*1024*1024*8 bit =  8.589.934.592 bit
 10 GB = 10*1024*1024*1024*8 bit = 85.899.345.920 bit


A seconda della situazione potremmo avere bisogno della dimensione in bit, byte, KB, …

  1. 10 KB = ??? byte
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10.240 byte
  2. 10 KB = ??? bit
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10·1024·8 bit = 81.920 bit
  3. 5 MB = ??? byte
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = ??? byte
  4. 5 MB = ??? bit
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = 5·1024·1024·8 bit = ??? bit
  5. 700 MB = ??? KB
  6. 700 MB = ??? byte
  7. 700 MB = ??? bit
    • 700 MB = = 700·1024·1024·8 bit = ??? bit
  8. 10.000 byte = ??? KB
    • 10.000 byte = (9·1024+784) byte = 9 KB e 784 byte

Dovendo svolgere delle moltiplicazioni o divisioni con grandi quantità risulta molto comoda la forma fattorizzata

  1. 100 bit = 102 bit = (2·5)2 bit = 22·52 bit
  2. 1000 bit = … = ??? bit
  3. 10.000 byte = 104(23 bit) = 24·54·23 bit = 27·54 bit
  4. 1.000.000 bit = … = 26·56 bit
  5. 10 KB = (2·5)(210)(23 bit) = 214·5 bit
  6. 1 MB = (210)(210)(23 bit) = ??? bit
  7. 5 MB = 5·(220)(23 bit) = 223·5 bit
  8. 100 MB = ??? bit
  9. 700 MB = (22·52·7)(220)(23 bit) = 225·52·7 bit
  10. 1 GB = ??? bit

Conversioni di secondi

Come rappresentare un certo numero di secondi in modo leggibile?

  • Quando i secondi sono almeno 60 si trasformano in minuti
  • Quando i minuti sono almeno 60 si trasformano in ore
  • Quando le ore sono almeno 24 si trasformano in giorni

100 secondi = ???


  • 100 secondi = un minuto e 40 secondi

1.000 secondi = ???


  • 1.000 secondi = (16·60+40) secondi = 16 minuti e 40 secondi

5.000 secondi = ???


???


10.000 secondi = ???


???

  • 10.000 secondi = (166·60+40) secondi = 166 minuti e 40 secondi
  • 166 minuti = (2·60+46) minuti = 2 ore e 46 minuti
  • 10.000 secondi = 2 ore, 46 minuti e 40 secondi

100.000 secondi = ???


???


Un milione di secondi?


  • 1.000.000 secondi = 16.666 minuti e 40 secondi
  • 16.666 minuti = 277 ore e 46 minuti
  • 277 ore = 11 giorni e 13 ore
  • Un milione di secondi = 11 giorni, 13 ore, 46 minuti e 40 secondi



Con il foglio di calcolo

Formule?

  • (secondi) = RESTO(Secondi; 60)
  • (minuti) = QUOZIENTE(Secondi; 60)
  • ???



Passa da una rappresentazione all’altra

  1. 100 minuti = ??? ore
  2. 1.000 minuti = ??? ore
  3. 12 ore = ??? secondi
  4. un giorno = ??? minuti
  5. una settimana = ??? ore

A quanti secondi corrisponde una certa attesa?

  • un minuto = 60 s
    • = 22·3·5 s
  • dieci minuti = 10*60 s = 600 s
    • = (2·5)(22·3·5) s = 23·3·52 s
  • un’ora = 60*60 s = 3.600 s
    • = (22·3·5)(22·3·5) s = 24·32·52 s
  • dieci ore = 10*60*60 s = 36.000 s
    • =
  •  un giorno = 24*60*60 s =
    • =
  • una settimana = 7*24*60*60 s =
    • =
  • un mese = 30*24*60*60 s =
    • =
  • un bimestre / un trimestre / un quadrimestre = ???
  • un anno = 365*24*60*60 s =
    • =
  • un lustro / un decennio / un secolo = ???

La forma fattorizzata risulta comoda nel caso di moltiplicazioni o divisioni…