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P2 PNI

… si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti …

1 PNI

Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

2 PNI

Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Qual è la probabilità che essa sia difettosa?

4 PNI

Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta quattro volte.

5

La funzione ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse.
Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.

6 PNI

Si vuole che l’equazione abbia 3 radici reali.
Qual è un possibile valore di b?

7 PNI

Verificare l’uguaglianza e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.

9

Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.

10 PNI

Verificare che l’equazione ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

1997

3 PNI Suppletiva

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·10¹⁰ nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10^-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

1993

3 PNI

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.

1. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

3 PNI Suppletiva

Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
   • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
   • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
   • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

1992

Si desidera fondere due sequenze A e B di numeri interi, non ordinate e con eventuali valori ripetuti, in un’unica sequenza C nella quale compaiono, in ordine crescente e senza ripetizioni, i valori presenti in A e in B.
Il candidato formulate le ipotesi aggiuntive che ritiene necessarie, proponga ed illustri una procedura per risolvere il problema e la codifichi in un linguaggio di sua conoscenza.

Codifica:Linguaggio C

1990

Si scriva un programma che produca i numeri primi inferiori a 100.000.
Si calcoli quanti sono i numeri primi che cadono in ciascuno dei seguenti intervalli

• 1 – 1.000
• 1.001 – 2.000
• 2.001 – 3.000
• …
• 99.001 – 100.000.

Codifica: C++ – Python

P1 PNI

…

P2 PNI

…

4

Dimostrate che l’equazione ammette una e una sola soluzione reale.

4 PNI

Dati gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

9 PNI

Si dimostri che l’equazione  ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.

10

Considerate gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

P2 – P2 PNI

…

6

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?

7

Se , per quanti numeri reali k è f(k)=2?
Si illustri il ragionamento seguito.

7 PNI

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?

9 PNI

Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi?
Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci?
E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?

10 PNI

Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.

4 PNI

Si dimostri che l’equazione ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima.
Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.

5 – 5 PNI

Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di è uguale a per ogni .

7 PNI

Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda «che cos’è la probabilità?» era solito rispondere: «la probabilità non esiste!».
Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

8 PNI

Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?

10 PNI

Tenuto conto che calcola un’approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

5 Suppletiva

Si dimostri che l’equazione  ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.
Si dimostri che l’equazione ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.

6

Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggioranza del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni.
Che cosa si può dire del prezzo finale?

6 PNI

Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha una lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

6 Suppletiva

Si scelga a caso un punto P all’interno di un cerchio.
Si determini la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio.

8

Si risolva l’equazione: .

8 PNI

A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre centenario della nascita, si deve il seguente problema: “Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro.
Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono.
Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima.
A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro si sedette a giocare.”

10 Suppletiva

Si risolva la disequazione .

10 PNI Suppletiva

Si risolva la disequazione .

P1 PNI

…

P2 PNI

…

1 PNI

Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica?
Qual è la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché?
Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?

2 PNI

Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal: “Giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?!”

3 PNI

Assumendo che i risultati X, 1, 2 delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.

4

Si consideri…

7

Data la funzione calcolarne i limiti per x che tende a +∞ e -∞ e provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.

P2 PNI

c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di Γ con l’asse x.

2 PNI

Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione .

6

Dimostrare che si ha dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0.

6 PNI

Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale definito e si confronti il risultato con il valore esatto dell’integrale.

7 PNI

Verificato che l’equazione  ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

8 PNI

Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze.
Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

P1 PNI

…

P2 PNI

…

1 PNI

Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta.
Si scelga a caso un punto all’interno del cono.
Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

4 Suppletiva

6

Se , con n>3, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

9 PNI

In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse.

Tenuto conto che  si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati.

P2 PNI

…

3 PNI

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

6 PNI

Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione , con punto iniziale .
Cosa si ottiene dopo due iterazioni?

7 – 7 PNI

Si dimostri l’identità dove n e k naturali e n > k.

8

Si provi che l’equazione ha una radice compresa fra -1 e 0.

8 PNI

Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni.
Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?