Esame di Stato 2003 PNI – 10

Verificare che l’equazione $x^3-3x+1=0$ ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

Sia

$f(x)=x^3-3x+1$

Osserva

$f(x)$ continua…
$\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ , almeno uno zero
$f\prime(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$
$f\prime(x)=0$ per $x=\pm1$ , due punti notevoli
$f(-1)=+3$
$f(+1)=-1$ , punti notevoli discordi
$f(-2)=-1$
$f(-1)=+3$ , segni discordi in [-2, -1], almeno uno zero in (-2, -1)
$f(+1)=-1$ , segni discordi in [-1, +1], almeno uno zero in (-1, +1)
$f(+2)=+3$ , segni discordi in [+1, +2], almeno uno zero in (+1, +2)

Se ne calcoli…