Esame di Stato 2009 PNI – 3

di

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

Vedi la discussione: (La moneta di Buffon 1) – La moneta di Buffon 2

La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se il suo centro cade all’interno del quadrato interno

Siano

  • L: il lato della piastrella
  • S: la superficie della piastrella
  • D: il diametro della moneta
  • Li: il lato del quadrato interno
  • Si: la superficie del quadrato interno
  • pi: la probabilità che il centro della moneta cada nel quadrato interno

Allora

pi = \displaystyle \frac{S_i}{S} = \displaystyle \frac{L_i^2}{L^2} = \displaystyle \frac{(L-D)^2}{L^2} = \displaystyle \left(\frac{L-D}{L}\right)^2 = \displaystyle \left(1-\frac{D}{L}\right)^2

Sostituendo i valori del quesito

  • L = 10 cm
  • D = 25,75 mm = 2,575 cm

si ottiene

pi = … = 0,55130625 ~ 55 %

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