Esame di Stato 2008 PNI – 1

Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta.
Si scelga a caso un punto all’interno del cono.
Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

La figura a destra è temporanea…

Volume della sfera

$r$ , $\overline{HO}$ , raggio
$\displaystyle V_s=4/3\cdot \pi \cdot r^3$

Volume del cono equilatero

$R$ , $\overline{BH}$ , raggio di base
$h$ , $\overline{CH}$ , altezza
$\displaystyle V_c=\pi \cdot R^2 \cdot h/3$

Probabilità come rapporto tra volumi

$\displaystyle p=\frac{Vc-Vs}{Vc} = 1- \frac{Vs}{Vc} = 1-\frac{4/3\cdot \pi \cdot r^3}{\pi \cdot R^2 \cdot h/3} = 1- \frac{4 \cdot r^3}{R^2\cdot h}$

Dall’osservazione della figura…

$\overline{BC} : \overline{BH} = \overline{BO} : \overline{HO}$
$\overline{BH}^2 = \overline{BO}^2 - \overline{HO}^2$

Quindi

$\displaystyle h= 3\cdot r$
$\displaystyle R= \sqrt{3}\cdot r$

Quindi

$\displaystyle p= 1- \frac{4 \cdot r^3}{{(\sqrt{3} \cdot r)} ^2 \cdot (3\cdot r)} = 1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$