Esame di Stato 2008 Suppletiva – 5

Si dimostri che l’equazione $(3-x)e^x-3=0$ per $x > 0$ ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.

Sia $f(x)=(3-x)e^x-3$

Esistenza e unicità

$f(x)$ è continua in R
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-3$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$
$f(0)=0$
$f'(x)=(3-x)e^x-e^x=(2-x)e^x$
- $(2-x)e^x=0$
- $x=2$
$f'(x)>0$ per $x < 2$ , $f(x)$ crescente
$f'(x)<0$ per $x > 2$ , $f(x)$ decrescente
$f(x)$ ha un massimo relativo per $x = 2$
$f(2)=e^2-3 > 0$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ , per $x > 2$ deve cambiare segno…
$f(3)=-3$
Nell’intervallo $[2, 3]$ la funzione è continua, cambia di segno: esiste $x_0\in (2,3)$ tale che $f(x_0)=0$
Nell’intervallo $[2, 3]$ la funzione è decrescente, lo zero è unico.

L’equazione $(3-x)e^x-3=0$ per $x > 0$ ha un’unica radice reale nell’intervallo $[2, 3]$

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